ma .ma‘ = mb . mb' = mc . mc‘ ... — mg.mg,' 
— mg 2 = m. h . min! — mli 2 ... = lc 2 . . . 62) 
Besitzt die Involution keine Doppelpunkte, 
so erkält man die Gleichung: 
ma . ma' = mb .mb' = mc . m& = mg . mh 
— k 2 63) 
Aus Gleichung 62 ist, in Rücksicht auf die 
Beziehung, zu ersehen, dass die Doppelpunkte 
gg‘ und hh‘ mit jedem Punktpaare einer 
Involution stets vier harmonische 
Punkte bilden. 
Erkl. 139. Der Inhalt der Erkl. 138 lässt 
sich in folgende Sätze zusammenfassen: 
„Eine ungleichlaufende Involution 
von Punkten besitzt stets zwei Doppel 
punkte g und h, welche gleich weit vom 
Mittelpunkte der Involuti on und zwar 
u m die St recke k abstehen und die sämt 
lichen durch die Punktpaare der In 
volution gebildeten Strecken harmo 
nisch trennen.“ 
„Eine gleichlaufende Involution be 
sitzt keine Doppelpunkte, dagegen ein 
zum Mittelpunkte der Involution sym 
metrisch liegendes Punktpaar, dessen 
Punkte um die Strecke k vom Mittel 
punkte abstehen.“ 
Erkl. 140. Eine Involution mit Doppel 
punkten bezeichnet man auch als hyper 
bolische Involution, im Gegensatz zu einer 
Involution ohne Doppelpunkte, welche 
eine elliptische Involution genannt wird. 
Der Grund dieser letzteren Bezeichnungen soll 
später erläutert werden. 
Frage 79. Wie konstruiert man auf 
Grund des bisher Angeführten auf 
einem gegebenen Träger beliebig 
viele Punktpaare einer Involution? 
Antwort. Ist A, siehe Figur 131, der 
gegebene Träger, so wähle man zwei Punkte o 
und p ganz willkürlich und lege durch die 
selben alle möglichen Kreise, so schneidet 
jeder Kreis aufA ein zusammengehöriges 
Punktpaar der Involution aus; denn 
trifft die Verbindungslinie op den Träger der 
Involution in einem Punkte m, so findet nach