Besondere Fälle der Projektivität der Gebilde der ersten Stufe. 
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d. h. die Winkel AB und A‘B‘ sind im 
entgegengesetzten Sinne gleich. 
Erkl. 148. Aus den Entwickelungen in Ant= 
wort der Frage 83 folgen mit Bezugnahme auf 
Erkl. 145 die Sätze: 
„In zweien projektiven Strahl 
büscheln gibt es zwei Systeme von ent 
sprechend gl ei ch e n Wink ein; im ersten 
System sind die Winkel im gleichen, 
im zweite-n Sy stem im ungleichen Sinne 
gleich.“ 
„Die nicht entsprechenden Schenkel 
ents p rechend gleiche rWinkelschlies- 
sen mit den nicht entsprechenden 
Schenkeln der Rechtwinkel paare 
Winkel von gleicher Grösse und zwar 
in entgegengesetztem oder gleichen 
Sinne ein, je nachdem die entsprechend 
gleichen Winkel im gleichen oder ent 
gegengesetzten Sinne gleich sind.“ 
„Der kleinste unter den im gleichen 
Sinne entsprechend gleichen Winkeln 
auftretende Winkel besitzt die Grösse 
Null; er tritt in jedem Strahlbüschel 
zweimal auf und ist durch die Strahlen 
G und G‘ bezw. H und H‘ seiner Lage 
nach gegeben, der kleinste Winkel im 
anderen System ist dagegen durch den 
Winkel GH bezw. G‘H‘ gegeben.“ 
Da 
AB = iQ + QB 
ist, gilt auch die Beziehung 
tg AB = tg (Ä'Q + QB) 
oder in Rücksicht auf die Beziehung, siehe 
Erkl. 110, I. Teil des Projektionszeichnens: 
tg AB = 
tg AQ + tg QB 
1 — tg ÄQ . tg QB 
Nun ist aber, 
tg ÄQ = tg B r E\ 
folglich 
tg AB = tg B?R ‘ + tg 
i — tg BB‘. tg c£b 
oder in Rücksicht darauf, dass 
tg B r B . tg (QB = - tg 3 (QG 
ist 
tg AB = tg QB + tg B‘ll‘ 
1 + tg 2 $G 
77) 
Der Ausdruck 77 erhält seinen kleinsten 
Wert, da der Nenner eine constante Grösse 
ist, wenn der Zähler seinen kleinsten Wert 
annimmt, was der Fall ist, wenn die Strahlen B 
und B‘ mit den Strahlen H und H‘ zusammen 
fallen, denn in diesem Fall deckt sich der 
Strahl A mit G, der Strahl A! aber mit G'. 
Frage 84. Welche besonderen Lagen 
können ausser den bisher kennen 
gelernten Fällen zwei projektive 
Strahlbüschel noch einnehmen? 
Figur 138. 
Antwort. Zwei projektive Strahlbüschel 
können 
a)in perspektivischer Lage sich 
befinden, und zwar so, dass, wie in 
Figur 138 der perspektivische Durch 
schnitt in unendliche Ferne gerückt ist, 
so dass die sämtlichen entsprechenden 
Strahlenpaare AA‘, BB‘, GC‘ . . . zu 
einander parallel laufen oder es kann 
der perspektivische Durchschnitt die 
Verbindungslinie oo‘ der Mittel 
punkte senkrecht hälften, siehe 
Figur 189. In beiden Fällen bilden dann 
je zwei entsprechende Strahlenpaare in 
beiden Büscheln gleiche Winkel von 
gleichem bezw. entgegengesetztem Sinne 
und die Strahlbüschel heissen im ersten 
Fall projektiv gleich und gleich 
laufend, im zweiten Fall pro-