Besondere Fälle der Projektivität der Gebilde der ersten Stufe. 
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Erlil. 153. Aus dem in Erkl. 150 Entwickel 
ten folgen mit Bezugnahme auf die Antwort 
der Frage 86 folgende Sätze: 
„Zwei concent rische ungleich 
laufende Strahlbüschel besitzen nur 
dannDoppeistrahlen, wenn die Schenkel 
der entsprechenden Nullwinkel nicht 
übereinander greifen.“ 
Frage 87. Kann es unter Umständen 
auch Vorkommen, dass die Strahlen 
zweier concentrischen Strahlbüschel 
sich in besonderer Weise entsprechen? 
Erkl. 154. Zwei co nee nt rische Strahl 
büschel, welche in der in Antwort der Frage 87 
gekennzeichneten Weise übereinander liegen, 
bilden ein Strahlsystem oder eine Strahlen 
involution oder eine Involution von 
Strahlen oder endlich ein involutorisches 
Strahlenbüschel. 
Erkl. 155. Die nicht entsprechenden Schenkel 
entsprechend gleicher Winkel bilden je ein 
zusammengehöriges oder conjugiertes 
Strahlenpaar der Involution; man bezeichnet 
solche zusammengehörige Strahlen mit dem näm 
lichen Buchstaben und versieht zweckmässig 
den einen Strahl mit einem Index, z. B. A und A', 
B und B‘, C und G‘ etc., siehe Figur 141. 
Figur 141. 
Erkl. 156. Bei einem involutorischen 
Strahlenbüschel fallen die Rechtwink el- 
paare mit ihren nicht entsprechenden 
Schenkeln aufeinander und bilden gleichfalls 
ein conjugiertes Strahlenpaar MM\ welches 
man die Achsen der Involution nennt. Der 
Mittelpunkt des Büschels heisst zugleich der 
Mittelpunkt der Involution. 
Erkl. 157. Ein involutorisches Strahlen 
büschel ist vollständig bestimmt, sobald man 
zwei Paare conju giert er Strahlen kennt. 
Erkl. 158. Da die Involution sich nur als 
ein besonderer Fall zweier concentri- 
scher Strahlbüschel dar stellt, so ist klar, 
Antwort. Analog wie bei zweien aufein 
ander liegenden Punktreilien sich jeder Punkt 
doppelt auffassen lässt, so kann man auch 
bei zweien concentrischen Strahl- 
büscheln jeden Strahl, z. B. A, doppelt 
nehmen, nämlich einmal als Strahl A des 
einen Büschels, dann entspricht ihm im 
anderen Büschel ein Strahl A‘. Fasst man 
aber den erstgenannten Strahl als zum zweiten 
Büschel gehörig auf und nennt ihn für diesen 
Fall B', so entspricht ihm im ersten Büschel 
ein Strahl B und es werden im allgemeinen 
die Strahlen A und B nicht zusammen 
fallen. Im besonderen kann aber der Fall 
eintreten, dass die Strahlen A und B‘, des 
gleichen A‘ und B sich decken, und dies wird 
stets geschehen, wenn die Winkel AB und 
A‘B‘ einander im entgegengetzten Sinne 
gleich sind. 
Da es nun in zweien projektiven Strahl 
büscheln zwei Systeme von entspre 
chend gleichen Winkeln gibt, so 
können die Büschel in zweifacher Weise 
aufeinandergelegt werden, nämlich so, dass ent 
weder das eine oder das andere System ent 
sprechendgleicher Winkel zur Deckung gelangt. 
Im einen Falle decken sich dann die ent 
sprechenden Schenkel G und G‘ eben 
so H und H‘ der Nullwinkel, im anderen 
Fall kommen die Strahlen G und H‘ eben 
so II und G‘ aufeinander zu liegen.