I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
2. m = g + 1. 
In diesem Falle ist 
g = m— 1, | 
g 2 = m 2 — (mod m) 
also g 2 = 1, J 
deshalb 
und 
t = 2, y 1 = m — 1 
A = a 0 + a 2 + 4 f- (m — 1) {a t -j- a 3 + a 5 4 ) 
= m{a x + a 3 + « 5 + • • •) + («o + «2 + a i 4 ) ~ ( a i + a 3 + a h H— 0 
bezüglich 
= m{a t + a z + a 5 4 ) —[(«! + a s + a s 4 ) ~ ( a o 4~ a z + a i 4 )]> 
je nachdem 
(a Q + a 2 + n 4 + • • •) ^ («i + « 3 4~ « 5 + • • •) • 
Daraus folgt: A ist dann und nur dann durch m = g -J- 1 (oder 
einen Teiler von g 1) teilbar, wenn dasselbe von der Differenz 
(«0 4“ «2 4" a 4: + ■ ‘ ■) ~ ( a i + 4“ + • • •) ; 
bezüglich 
K + «3 + + ■ • ■) - (ffo + ®2 + ®4 + ' ’ ') 
gilt. Bei g gleich zehn erhält man so eine Regel für die Teilbarkeit 
durch elf, bei g gleich zwölf eine solche für die Teilbarkeit durch 
dreizehn. 
Indem wir darauf verzichten, das allgemeine Kriterium auf eine 
größere Anzahl spezieller Fälle 1 ) anzuwenden, setzen wir nur noch 
3. m = 7, für g = 10. 
In bezug auf den Modul 7 ist 
10°= 1, 10^ 3, 10 2 = 2, 10 3 = 6, 10 4 = 4, 10 5 ==5, 10 6 = 1, 
also 
A = 1 • ü/q -(- 3 dy 2 ctg ff" 6 ö&3 4- 4 cl^ -j- o 11- 
■f 1 • ■(■ 3a 7 -f- 2a 8 -f- 6a 9 ff- 4a 10 ff- 5+ • • * 2 ). 
1) Verhältnismäßig einfache Regeln erhält man noch beispielsweise unter 
der Voraussetzung g = 10 für m — 27 und m — 37; für diese Werte wird t = 3. 
Für m — 13 wird t — 6. 
2) Eine dieser Kongruenz durchaus entsprechende Regel zur Aufsuchung des 
kleinsten Restes einer Zahl (mod 7) gibt schon der Araber Ihn Albannä gegen 
Ende des 13. Jahrhunderts. [Vgl. S. 61, Anm. 1]. Diese Regel ist dann viel 
verwendet worden einerseits für die Siebenerprobe, andrerseits für die Unter 
suchung einer Zahl auf ihre Teilbarkeit durch 7.