Erfordernisse des Integrals von e~g)(x) zur Gültigkeit für k = 0. 155 
werden, weil sonst das nnendlich ausgedehnte Integral (2) sinn 
los werden würde. 
Zum Beweise des Satzes wenden wir teilweise Integration 
auf den Faktor cp(x) an. Der Kürze halber setzen wir: 
X 
j (p{x)dx = /(#), also cp(x) = f (x). 
0 
Dann wird f{x), das selbstredend eine ganz bestimmte und natür 
lich stetige Funktion von x sein mufs, für x = 0 selbst zu Null, 
während es für x = oo nichts anderes ist als das nach der 
Voraussetzung gleichfalls einen endlichen und bestimmten Wert 
repräsentierende Integral (2). Man hat demnach: 
/(0) = 0; /(qo) = j (p(x)dx. 
o 
Die teilweise Integration ergibt nun: 
j* e~ kx cp(x)dx = ^ e~ hx f'(x)dx = [e~ kx f(x)']Q-\-k^f(x)-e~ kx dx, 
0 0 0 
oder mit Rücksicht darauf, dafs das geschlossene Glied für beide 
Grenzen ausfällt, einfach die Relation: 
oo oo 
j e~ kx cp(x) dx = Ti jf(x) e~ kx dx (k > o), 
o o 
unbedingt gültig, solange k nicht gleich Null ist. 
Es kommt aber nun darauf an, zu zeigen, dafs für ein bis 
zu Null abnehmendes Je der Ausdruck auf der rechten Seite 
pure /(oo) wird, oder das Integral (2) zur Grenze hat. Dazu ist 
jedoch seine Form noch unangemessen, weil mit abnehmendem Je 
der Faktor k schliefslich gleich Null, der andere Faktor aber, 
das Integral, gröfser und gröfser wird, da alsdann für wachsende 
Werte von x die Exponentialgröfse mit überall numerisch 
kleinerem Exponenten immer langsamer abnimmt. 
Aus diesem Grunde zerlege man das Integral in zwei Teil 
integrale, von 0 bis m und von m bis oo, wo das positive m eine 
das Resultat nicht beeinflussende Hülfsgröfse ist, die man an sich 
ganz willkürlich und beliebig klein oder beliebig grofs wählen 
kann, die sich aber für unseren Zweck mit abnehmendem k 
ebenfalls in ganz bestimmterWeise wird ändern müssen, und da 
ist es eben die Hauptsache, zu erkennen, wie diese Änderung 
beschaffen sein mufs.