Congruenzen zweiten Grades. 
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2. Beispiel. x 2 = — 15 (mod. p) . 
(_ 15) = (— 3) (+5). 
Unter den <p(15) = 8 Zahlen, die prim zu 15 und < 15 
sind, hat 
3 die Nichtreste 2, 8, 11, 14, 
5 die Nichtreste 2, 7, 8, 13. 
Es sind also Nichtreste beider Zahlen 3, 5 oder keiner 
derselben 1, 2, 4, 8, 
Nichtreste nur einer derselben 7, 11, 13, 14. 
Daher sind 157c + 1, 2, 4, 8 die Formen der Divisoren, 
157c -{- 7, 11, 13, 14 die Formen der Nichtdivisoren von 
x 2 -{- 15. 
Bringen wir auch hier die Bedingung p = 2n + 1 zum 
Ausdruck, so erhalten wir leicht als Formen der Diviso 
ren von x 1 -j- 15 
307c + 1, 17, 19, 23 
und als Formen der Nichtdivisoren 
30 Je + 7, 11, 13, 29. 
II. Fall. Wenn a eine der beiden Formen 
— (4 n -j- 1), -}- (4n -f- 3) 
hat, so können wir a — (— 1) a setzen, wo a eine Zahl einer 
der im ersten Falle behandelten Formen ist. Da dann 
© - (V) © 
ist, so wird — + 1 sein, erstens, wenn = -f- 1 
und zugleich = -f- 1 ist, zweitens, wenn jedes der Sym 
bole (-^-) , (^-) den Werth — 1 hat; dagegen wird — — 1 
sein, wenn das eine dieser Symbole = -|- 1, das andere 
= — 1 ist. 
Haben wir also nach dem Vorhergehenden die Formen 
der Divisoren und die der Nichtdivisoren von x 2 — a be 
stimmt, und werden die ersteren mit 
(1) a7c-f-U ; «7c -j- , 
die letzteren mit