282
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1778.
Plurimum igitur scientia numerorum promoveri esset censenda, si demonstrationem desideratam etiam
ad has formulas extendere liceret.
§ Primo quidem intuitu videri posset has postremas formulas non solum ad summas, sed
etiam ad differentias, prouti in prima usu venit, extendi posse, ita ut etiam haec aequalitas
a i ±b i ±c i =d i pro impossibili esset habenda; verum hoc longe secus se habere ante aliquot
annos observavi, in tomo Commentariorum XVII pag. ubi bina biquadrata assignavi, quorum
summa in alia duo biquadrata resolvi queat, ita ut sit a 4 -i-6 4 =c 4 -i- d“, unde ergo haec aequalitas
a 4 -n-6 4 —c 4 =d 4 veritati neutiquam adversatur; verum numeri, quos pro his litteris a, b, c, d,
per calculum valde taediosum erui, valde immanes prodierunt.
§ 5, Cum autem nuper idem argumentum tractandum suscepissem, praeter omnem expectatio-
nem incidi in numeros multo minores hac indole praeditos, atque adeo minimi numeri hoc prae
stantes statui possunt isti: u=13k, 6= 133, c =158 et d = 59, quandoquidem revera depre
hendetur esse 13V 4 -h 133 4 = 1 58 4 -h 59 4 , quem calculum exsequi haud adeo molestum est, dum
contra comprobationem illorum immensorum numerorum vix quisquam tentare audebit.
§ 6. Methodus autem, qua tum temporis sum usus, ut resolverem hanc aequalitatem:
a*-*-b*=c*-*-d* 9
ita procedebat: consideravi scilicet hanc aequationem A 4 —C*=D i — B i , ac posito
A = a -t- b, C = a — 6, I) = c -и d et B = c— d,
prodiit ista aequatio satis simplex: ab (aa-+-66) = cd (cc-+-dd); sicque totum negotium ad resolutionem
hujus formulae reducitur. Hic autem non solum methodum ante usitatam, multo tractabiliorem sum
redditurus, sed etiam ad resolutionem formulae multo generalioris in titulo exhibitae
. ab (maa h- nbb) = cd (mcc -+- ndd)
sum accommodaturus, ita ut, quicunque numeri pro m et n accipiantur, semper infinitis modis numeri
satisfacientes pro a, 6, c, d inveniri queant.
§ 7. Ad aequalitatem autem hanc resolvendam utor ante omnia hac transformatione:
b — cp et d = aq,
hocque modo aequatio resolvenda hanc induet formam:
p {maa -+- nccpp) = q (mcc h- ndaqq),
sicque totum negotium huc redit, ut ista formula
. ... aa пр ъ — та
unde elicitur — = —5——?
CC nq — rnp
ad quadratum reducatur, quod qui
dem sponte evenire casu q = p mox in oculos incurrit, cum evadat — =1, ideoque c = a, tum
quoque fiet b = d, qui autem casus maxime obvius pro solutione neutiquam haberi potest, quan
doquidem ambo membra aequationis prodeunt identica. Interim tamen hic ipse casus ad alias solu
tiones manuducere poterit.
§ 8. Cum igitur nostra formula revera quadratum evadat posito p = q, statuamus p—q{i-+-z),
ita ut sumto z = 0 ipse casus obvius prodeat; nunc autem nostra formula in sequentem trans
mutabitur :
(*) Yide hujus operis Comment. XXXIII in tomo I. pag. 473.
