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I. Teil. Verlauf einer algebraischen Kurve. 
Art. 12. 
Satz: Wenn eine Funktion f{x) der reellen Veränderlichen x, 
die in dem Intervall x { ... x i+ i eindeutig und stetig ist [was sicher 
für f{x) — F(x, yi) zutrifft], für Xi und x i+1 entgegengesetztes 
Vorzeichen annimmt, so läßt sich immer ein Wert x zwischen 
Xi und x i + 1 bestimmen, für welchen f{x) = 0 ist 1 ). Hätten nun 
F{x h yi) und F(x i + 1 , yi) verschiedene Vorzeichen, so müßte hier 
nach die Kurve F{x, y) = 0 das Stück {x„ yi) ... [Xi + 1, yi) des 
Linienzuges (1) ... (n) treffen, was der Voraussetzung widerspricht. 
Da das gleiche von jeder anderen Seite des Treppenweges und damit 
von den Endpunkten (1) ... {n) selbst gilt, so haben F{x x , t/ x ), 
F{x n , y n ) das gleiche Vorzeichen. 
Eine (nicht mehrfache) Kurve F(x, y) — 0 teilt also 
die Ebene in Bereiche (Gebiete, Felder) von Punkten, für 
welche je das Vorzeichen von F{x, y) dasselbe ist. 
An der Hand dieses Satzes kann man die Zerlegung des 
Polynoms F{x, y) in ein Binom: 
F{x, y) __ 0{x, y) + W{x, y), (1) 
wie sie im vorigen Artikel für die Ermittlung von Kurvenpunkten 
verwendet wurde, nun auch für die erwähnte Gebietseinteilung 
heranziehen, sofern die Zerlegung so eingerichtet wird, daß jedes 
der Polynome <5, W in Faktoren zerlegbar ist, die, mit Null 
verglichen, bekannte Kurven darstellen, oder die doch in der 
ganzen Koordinatenebene dasselbe Vorzeichen besitzen. 
Zerfallen nämlich diese Polynome wie folgt: 
& (F y) = P(x, y). Q (a, y). B {x, y) ..., 
W(x, y) — S (x, y). T{x, y). U(x, y) ..., 
so zeichne man nach Maßgabe des Verfahrens des Art. 10 sämt 
liche Kurven 
P = 0, Q — 0, ... S= 0, T = 0, ... 
in das Koordinatennetz ein, wobei jedoch die in geraden Potenzen 
vorkommenden, ebenso wie die aus anderen Gründen ihr Vor 
zeichen nicht ändernden Faktoren (man denke etwa an eine 
Summe von geraden Potenzen mit positiven Koeffizienten) nicht 
in Betracht kommen. Durch die Kurven P = 0, Q = 0, ... 
D Einen Anschauungsbeweis für diesen Satz liefert der Umstand, daß 
sich wegen der Stetigkeit und Eindeutigkeit von f(x) das Bild einer ununter 
brochenen Linie y = f\x) entwerfen läßt (Art. 7), die, von dem Punkt 
^ V — fix) zu dem Punkt x — x i + l , y = f(x i + 1 ) sich erstreckend, 
ihre Endpunkte auf verschiedenen Seiten der X-Achse hat, die diese also 
notwendig einmal schneiden muß. Einen arithmetischen Beweis findet man 
z. B. bei v. Mangoldt, Höhere Mathematik I, S. 449.