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Kugel. 
Zwei Meridiane schließen ein sphä 
risches Zwei eck ein- 
3) Bezeichnet n Oßt) dieKreiöumfangs- 
zahl 3,1415927 (s. Kreiß), so ist 
die Oberfläche der Kugel — 4 r 2 /r, 
der Inhalt - - — j* 3 ”- 
4) Um die Oberfläche und den räum 
lichen Inhalt einer Zone, d. h. den Raum 
im Innern der K. zwischen den Ebenen 
der beiden Parallelkreise, angeben zu 
können, muß außer dem Kugelhalbmesser 
noch die Lage der beiden Parallelkreise ge 
geben sein. Dies erfolgt durch Messung 
der Breite jedes Parallelkrcises, d. h. des 
Bogenö eines beliebigen Meridians, der 
zwischen dem Äquator und dem Parallel 
kreis liegt. Ist <p die Breite des Parallel 
kreises, so ist die Fläche der zwischen ihm 
und dem Äquator liegenden Zone 
— 2r*7r sin <jp, 
und derkubischeJnhalt dieser Zone beträgt 
T s 7i (sin? — y sin 3 cf). 
5) Zur Bestimmung der Größe eines 
Zweiecks ist der Winkel nötig, den die bei 
den dasselbe begrenzenden Meridiane ein 
schließen, d. h. der Winkel, den die Ebenen 
derselben bilden. Derselbe wird gemessen 
durch den zwischen ihnen liegenden Aqua- 
torbogen. Bezeichnet man diesen Winkel 
mitri, gemessen in Graden, so ist dieFläche 
des ZweieckS , 
90 ' 
6) Sind auf einer Kugelfläche drei größte 
Kreise gegeben, so schneiden sich dieselben 
im ganzen in sechs Punkten, von denen 
immer zwei einander diametral gegenüber 
liegen. Denn je zwei größte Kreise schnei 
den sich in zwei diametral einander gegen 
überliegenden Punkten A und A', B nnd 
B', C und C' (s. Figur). Eine Figur auf 
der K., welche durch drei Bogen größter 
Kreise gebildet wird, wie ABO, heißt ein 
sphärisches Dreieck oder Kugeldrei 
eck. Die Winkel, welche die Bogen paar 
weise miteinander (nach der Innenseite 
des Dreiecks) einschließen, d. h. die Winkel 
zwischen den Ebenen dieser Kreise, werden 
die Winkel des Dreiecks genannt, und die 
Bogen AB — c, BC=a, AC=b heißen 
die Seilen desselben. Letztere werden, 
gleich den Winkeln, in Graden, Minuten 
und Sekunden angegeben. 
7) Unsre Figur zeigt, daß die drei größ- 
ten Kreise im ganzen acht sphärische Drei 
ecke bilden, nämlich: 
1) ABC mit den Seiten a, b, c und den Win 
keln A, B, C; 
2) A'B C mit den Seiten BC=a, A'C = 180°—b, 
A'B — 180° — c und den Winkeln A' — A, 
180°— B, 180“ —C; 
3) AB'C mit den Seiten B'C = 180° — a, AC —b, 
AB' — 180° — c und den Winkeln 180° — A, 
B' = B, 180°—C; 
4) ABC mit den Seiten BC — 180°—a, AC 
r= 180° — b, AB = c und den Winkeln 
180° — A, 180—B, C = C; 
5) AB'C mit den Seiten B'C — a. AC —180°—b, 
A'B — 180°— c und den Winkeln A, 180°— B, 
180°—C; 
6) A'B 6' mit den Seiten BC —180°—a, A'C—b, 
A'B = 180° — c und den Winkeln 180° — A, 
B, 180° —C; 
7) A'B'C mit den Seiten A'C — 180“—a, A'C — 
180“—b, A'B' — c und den Winkeln 180°—A, 
180°—B, C; 
8) A'B'C' mit den Seiten B'C — a, A'C' — b, 
A'B' — c und den Winkeln A, B, C. 
Von diesen Dreiecken hat jedes der drei 
unter Nr. 2, 3 und 4 mit dem ersten eine 
Seite und einen Winkel gemein; zwei Eck 
punkte sind gemeinsam, die dritten liegen 
einander diametral gegenüber. Man 
nennt diese Dreiecke die Nebendreiecke 
des ersten. 
Die Dreiecke Nr. 1 und 8, ebenso 2 und 
5, 3 und 6, 4 und 7 haben diametral ent 
gegengesetzte Ecken und stimmen in den 
Seiten und Winkeln überein. Doch fin 
det man leicht, daß es nicht möglich ist, 
das eine durch Verschiebung auf der Ku-