Dämmerung. 
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größer sein als 18°, wenn die Morgen- 
und Abenddämmerung getrennt auftreten 
sollen, oder ck -s- ,/> muß weniger als 
90°—18° = 72° betragen. Sobald also 
die Deklination der Sonne größer wird 
als 72°—(f, dauert die D. die ganze 
Nacht hindurch. Für die geographische 
Breite von 50° findet dies ungefähr in der 
Zeit vom 1. Juni bis 12. Juli statt, für 
60° Breite in der Zeit vom 21. April bis 
21. Aug., für 72° Breite in der Zeit vom 
Frühlings- bis zum Herbstäquinoktium. 
Für Gegenden, die weiter nach dem Pol 
hin liegen, ist dieser Zeitraum noch größer. 
6) Von Interesse ist es, zu erfahren, 
wann an einem bestimmten Orte die D. 
am kürzesten ist, und wie lange sie als 
dann dauert. Diese Frage bot früher 
der mathematischen Behandlung manche 
Schwierigkeit, und dadurch ist das Pro 
blem der kürzesten D. in der Geschichte 
der Astronomie zu einer gewissen Berühmt 
heit gelangt. Versteht man unter der Dauer 
derD. die Zeit, während welcher der Son 
nenmittelpunkt von 0 bis 18° unter den 
Horizont hinabsteigt oder umgekehrt von 
18° unterm Horizont bis an den Horizont 
emporsteigt, so ist die Dauer r der kür 
zesten D. durch die Gleichung gegeben 
. 1 siu 9" 0,1564 
sm-s-r^ — —; (5) 
2 COS <p COS (p 1 v ' 
dieselbe findet statt bei einer Deklination ck 
der Sonne, welche aus der Gleichung 
SinS——tun9°- 81NP — — 0,1584 -Mn p (6) 
gefunden wird. Für die Polhöhe (f — 42° 
findet man z. B. 
. 1 0,1564 
0,7431 
■ 0,2105, 
also jt — 12° 29', r —24° 58', 
oder in Zeit ausgedrückt 
t = 1 Std. 39,9 Min. 
Für die Deklination der Sonne zu dieser 
Zeit ergibt sich aus (6) 
sin 4 — — 0,1584 - 0,6691 — — 0,1060, 
mithin 4 — — 6° 5'. 
Diese Deklination hat die Sonne um 
die Zeit des 4. März und 7. Sept. 
7) Wenn in der Formel (5) 008 <p oder, 
was dasselbe ist, 8m (90—<p) kleiner ist 
als sin 9“, also 90°—y kleiner als 9° und 
demnach (p größer als 81°, 
so wird die rechte Seite der Gleichung größer 
als die Einheit, und da cs keinen Sinus 
gibt, der einen solchen Wert hat, so läßt 
sich r nicht angeben, es gibt keine kürzeste 
D. mehr im obigen Sinn. Betrachtet man 
zunächst den Grenzfall, daß die Polhöhe 
(p — 81° sei, so ergibt sich hier sin ~ r = 1, 
also t = 180°, d. h. 12 Stunden; die 
Abenddämmerung und ebenso die Morgen 
dämmerung dauert also 12 St. Wie dies 
zugeht, erkennt man, wenn man aus For 
mel (6) die Dekination 8 berechnet. Mau 
findet dabei ck — — 9°. Da nun die Äqua 
torhöhe 90° — 81° = 9° beträgt, so sieht 
man, daß die Sonne während der ganzen 
24 St. des Tags unterm Horizont steht 
und nur mittags den Horizont im S. 
berührt. Um Mitternacht aber erreicht sie 
ihren tiefsten Stand von 90° 9° — 81° 
= 18° unterm Horizont. Bei höherm Son 
nenstand kommt die Sonne im S. über 
den Horizont empor, geht aber dafür im 
N. nicht 18° unter denselben hinab: die D. 
dauert die ganze Nacht hindurch. Bei 
noch tieferm Stande der Sonne dagegen 
sinkt diese allerdings im N. tiefer als 18° 
unter den Horizont, die D. beginnt früh 
morgens und hört abends auf; aber mit 
tags kommt die Sonne im S. nicht über 
den Horizont herauf, Morgen- und Abend- 
dännnerung gehen mittags ineinander 
über, und diese D. tritt für die Bewohner 
dieser Gegenden an Stelle der Tageöhelle. 
8) Bei der nun folgenden Betrachtung 
der Dämmerungserscheinungen in Breiten 
von mehr als 81° wird es zum bessern 
Verständnis förderlich sein, sich der im 
Art. Höhe bezüglich der obern und un 
tern Kulmination eines Sterns aufge 
führten Sätze zu eriunern. In nördlichen 
Gegenden mit einer Polhöhe von mehr als 
81° sinkt die Sonne zu der Zeit, wenn 
sie überhaupt auf-und untergeht, nie 18° 
unter den Horizont, die D. dauert also 
die ganze Nacht hindurch. Hört aber die 
Sonne auf. über den Horizont heraufzu 
kommen, also am Anfang der immerwäh 
renden Nacht, so tritt zuerst eine Zeit der 
beständigen D. ein, während welcher die 
Sonne in geringerer Tiefe als 18° unter 
dem Horizont steht. Solche ununterbro