Derartige vierelementige Grundgebilde nennt man beziehungs 
weise „harmonische Punkte“ und „harmonische Strahlen“, 
und bezeichnet je zwei in solcher Weise getrennte Elemente derselben 
als „harmonisch eonjugierte Punkte oder Strahlen in Be 
zug auf die beiden anderen“ 6 ). 
Sind auf einem Träger r vier Punkte «, 6, c und u 0 o derartig an 
geordnet, dass c den Mittelpunkt der Strecke ab bildet, so 
repräsentiert diese Reihe einen speciellen Fall von vier harmoni 
schen Punkten. 
Nimmt man die Punkte a und b als Fixpunkte an, so ist das 
Theilverhältnis: 
a c 
bc : 
das Theilverhältnis 
Oy 'ICoo 
b Uoo 
daher das Doppelverhältnis: 
(abcun) 
CL C Oy Ojoo 
b c ' bu x 
— 1 : 1 = — 1. 
Die Punkte a und &, sowie die Punkte c und u x sind somit 
eonjugierte harmonische Punkte. 
Ebenso repräsentieren zwei Strahlen und deren Winkelhal 
bierende einen einfachen, resp. speciellen Fall harmonischer Strahlen. 
Ist nämlich (a, b) (Taf. XI, Fig. 145) ein gegebener Winkel und sind 
c und d die beiden Winkelhalbierenden, so ist 
sin a c 
sinb c 
also 
sin ad sin (90 -\- a c) cos ac 
sin b d sin (90 — a c) cos a c 
{ab c d) 
sin a c 
sin b c 
sin a d 
sin b d 
Die Strahlen a und sowie die Strahlen c und d sind sonach 
conjugiert harmonisch. 
§. 172. 
Harmonische Eigenschaften eines vollständigen Viereckes oder 
Vierseites. 
Ist ab cd (Taf. XI, Fig. 146) ein Viereck, dessen Gegenseiten 
a b und c d, b c und a d sich beziehungsweise in den Punkten m und n 
und dessen Diagonalen ac und bd sich in dem Punkte o treffen, so