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Die Natur dieser gegeuseitigen Beziehung wollen wir hier in aller 
Kürze näher erörtern. 
Ist r ein beliebiges Original und y dessen nach irgend einem 
Gesetze erfolgte Abbildung, so können wir uns das Original r stets 
in Punkte P.. . aufgelöst denken. Die Abbildungen dieser einzelnen 
Punkte P... werden im allgemeinen auf Grund des vorher aus 
gesprochenen Principes gewisse untereinander gleichartige geome 
trische Gebilde p... sein. Ob aber p... wieder Punkte, oder 
Geraden, Curven oder sonstige Gebilde sein werden, wird lediglich 
von der Natur des Abbildungsgesetzes abhängen. 
Um die „Abbildung“ p eines Punktes P zu erhalten, wird stets 
eine gewisse geometrische Operation, welche, nebenbei bemerkt, den 
wesentlichen Inhalt des Abbildungsgesetzes ausmacht, zu vollziehen 
sein, als deren beide Endglieder wieder P und p erscheinen müssen. 
Die nämliche Operation dient ebenso, jedoch in umgekehrter Folge, 
zur Herleitung eines Originalpunktes P aus der ihm entsprechenden 
Abbildung p. 
Aus dieser einfachen Betrachtung folgt unmittelbar, dass sich 
die zu verschiedenen Punkten P... gehörende Abbildungsoperation, also 
auch die ^Resultate derselben, d. h. die Abbildungen p... dieser Punkte, 
im allgemeinen durch ihre Lage von einander unterscheiden müssen 
und umgekehrt, oder kurz, dass nicht irgend einem P ein jedes be 
liebige p und umgekehrt, entsprechen könne. 
Durch diese Auseinandersetzungen ist aber keineswegs gesagt, 
dass einem jeden P nur ein einziges p und jedem einzelnen p nur ein 
einziges P entspreche; es wird vielmehr im allgemeinen Abbildungs 
falle die Beziehung eine derartige sein, dass einem Punkte P eine 
bestimmte Anzahl — m — von Individuen p, und umgekehrt einer Ab 
bildung p eine bestimmte Anzahl — n — von Originalpunkten ent 
sprechen. In diesem Falle nennt man die „Abbildungsbeziehung 
oder Abbildungs verwan dtschaft eine m-n - d eutige“. Es 
kann selbstverständlich auch der mögliche Fall eintreten, dass m oder 
n unendlich groß wird, ohne dass hiedurch gleichzeitig ein Aufhören 
der Gesetzmäßigkeit der Abbildung bedingt würde. 
Aus einer jeden beliebigen m-w-deutigen Abbildungsverwandt 
schaft wird man eine gewisse Anzahl von Eigenschaften der abgebil 
deten Originalgebilde ableiten können. 
Haben jedoch die Abbildungen der Originale den früher aus 
gesprochenen Anforderungen, „dass aus denselben die Form, Größe 
und Lage des betreffenden Originales direct oder doch vermittelst 
einfacher geometrischer Constructionen gefunden werden sollen“,, zu ent- 
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