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VIII. Capitel.
Das Cylindroid.
§. 155.
Denken wir uns (in orthogonaler Projection) einen Cy linder
zweiten Grades dargestellt, dessen Erzeugenden (Aa, A‘a‘),
(Bb,B 4 b‘)... (Taf. VI, Fig. 37) zur Grundlinie XX parallel sind.
Dieser Cylinder werde durch zwei horizontal - projicierende
Ebenen L v L h und l v l h in den beiden Ellipsen (K,K‘) und (k, k‘)
geschnitten, auf welchen die Endpunkte (A,A'), (B,B‘)... und (a,a 4 ),
(&, 6')... der Cylindererzeugenden liegen mögen.
Denken wir uns ferner den einen dieser Kegelschnitte, etwa
(K, K‘) sammt der auf demselben bestimmten Punktreihe (A, A'),
(B,B')... um eine beliebige Strecke e in verticaler Richtung nach
(K x , K') resp. (H,, A‘), (B if B 4 )... verschoben. Dass sich bei dieser
Verschiebung die Horizontalprojectionen nicht ändern, ist selbst
verständlich.
Verbindet man weiters die einander entsprechenden Punkte von
K l und &, d. i. solche Punkte (A x , A') und (a,a')... f welche vor
Verschiebung derselben Cylindererzeugenden angehörten, durch gerade
Linien, so ergibt sich als geometrischer Ort der letzteren
eine windschiefe Fläche, welche nach Frezier das „Cylin
droid“ genannt wird.
Die Eigenschaften des Cylindroides sind aus der eben angegebenen
Erzeugungsart der Fläche leicht abzuleiten.
Vor allem wollen wir den Nachweis liefern, dass die Fläche in
der That windschief sei, d. h. dass im allgemeinen zwei unmittel
bar aufeinander folgende Erzeugenden sich nicht schneiden.
Betrachten wir zu diesem Behufe irgend eine Cylindererzeugende,
etwa (Aa, A'a'). Die Verschiebung des Punktes (^L, A‘) vollziehe
sich in verticaler Richtung um die Strecke e. Hiernach ergibt sich
die entsprechende Cylindroiderzeugende (A x a, A\ a‘), wenn die Cylin
dererzeugende (Aa,A'a') in der durch letztere parallel zur verticalen
Projectionsebene gelegten Ebene um den Punkt (a, a‘) um einen
Winkel a gedreht wird, welcher durch die Relation:
bestimmt ist. Hieraus ist sofort zu erkennen, dass die Erzeugenden
des Cylindroides eine verschiedene Neigung — abhängig von
