düngen wollen wir 
; ), die von Geraden 
und C 3 (oder ebene 
je einem Punkte 
:eichnen wollen, ist 
er Regelfläche, 
me schneiden“, 
die drei Curven (7,, 
n Punkte treifen. 
iiese Geraden auch 
aufgefasst werden 
erade G x zu Leit- 
Regelfläche, welche 
(C x C 2 G x ) mit M‘, 
Setzen wir nun aber voraus, die Anzahl der gemeinschaft 
lichen Punkte von C x und C„, C a und C 3 , C 3 und C A seien beziehungs 
weise s 3 , s, und s„. 
Betrachten wir einen der Punkte, etwa s 3 , welche den Curven 
C x und C 2 gemeinschaftlich sind, als Scheitel eines Kegels, dessen 
Leitlinie durch die dritte Curve C 3 dargestellt wird, so ist klar, dass 
die Erzeugenden dieses Kegels, nachdem sie C x , C„ und C 3 schneiden, 
sämmtlich als uneigentliche Erzeugenden der Regelfläche (C x C q C 3 ) 
aufzufassen sind. Dieser Kegel, welcher von der m 3 -ten Ordnung ist, 
vermindert daher die Vorgefundene Gradzahl der eigentlichen 
Regel fläche um m 3 Einheiten. 
Der obigen Voraussetzung gemäß, erhalten wir aber s 3 solcher 
Kegel m 3 -ter Ordnung, ferner s 2 Kegel m 2 -ter Ordnung und s, Kegel 
m,-ter Ordnung, so dass man als „Grad“ der eigentlichen wind 
schiefen Regel fläche (C, C q C 3 ) die Zahl: 
M — 2 m x m„ m 3 — s, m x — s 2 m q — s 3 m 3 
findet. l ) 
\L‘ der Regelfläche 
le beliebige Gerade 
s n, welche gleich- 
m Geraden G x und 
lie, die Curve C„ 
G q ), welche C x , G x 
r, G 2 ) gleich Jf /y , 
ie dritte Leitcurve 
ier Grad M“ der 
3r Erzöugenden 
urve (7, schneiden. 
3atz 179, Band II, 
ter: 
m 2 . m 3 . 
Leitcurven (7,, C 2 
esitzen. 
II. Capitel. 
Regelflächen dritten Grades. 
§• 17. 
Flächen dritter Ordnung nennen wir jene, welche von einer 
Geraden in drei Punkten geschnitten werden, oder was das 
selbe ist, deren ebener Schnitt eine Curve dritter Ordnung ist. 
Eine Curve dritter Ordnung kann nur einen einzigen Doppel 
punkt besitzen, denn wäre diese Behauptung nicht begründet, kämen 
derselben also etwa zwei Doppelpunkte zu, so würde eine durch die 
letzteren gezogene Gerade mit der Curve bereits vier Punkte gemein 
haben, was mit der gegebenen Definition im Widerspruche steht. 
Hieraus folgt aber, da bekanntlich die Doppelpunkte der 
ebenen Schnitte einer krummen Fläche jene Punkte sind, in welchen 
die schneidende Ebene die Doppelcurve der Fläche trifft, 
dass eine Fläche dritter Ordnung auch nur eine einzige Doppel- 
gerade besitzen könne. 
Hätte besagte Fläche eine Doppelcurve von höherer als der ersten 
Ordnung, so besäße auch der ebene Schnitt mehr als einen Doppel-