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Les points m et n en tournant autour de l’axe Z engendreront deux cercles A et 
<5 dont les plans seront horizontaux et dont les centres seront sur l’axe Z. 
La droite G” sera la projection verticale d’une génératrice droite G de l’hyper- 
boloïde 2, ayant Z pour axe et les cercles À et <3 pour parallèles. 
La droite G® coupera A® en y v et l’on déterminera y h sur A* ; par conséquent la 
droite y h n h sera G\ 
La droite G étant déterminée par ses deux projections G” et G fc , on pourra la faire 
tourner autour de l’axe Z, et dans son mouvement elle s’appuyera sur les cercles A 
et d, et elle engendrera la surface 2. 
Abaissant donc du point Z h une perpendiculaire Z h x h sur la droite G ft , et con 
struisant x v sur G", on mènera par ce point x v la droite C® perpendiculaire à Z% et 
du point Z h comme centre et avec Z h x h comme rayon, on décrira le cercle C\ 
On connaîtra donc le cercle de gorge G de la surface 2. 
Cela fait : 
Le cercle coupera H M en on construira p” et l’on aura l’un des sommets de 
l’hyperbole £®, projection verticale de la section \ faite dans la surface 2 par le 
plan M. 
Le point i® en lequel les droites Z® et G® se coupent sera le centre de la courbe £®, 
laquelle satisfera aux conditions, savoir : de passer par les points m® et n l et d’être 
tangente en if à la droite G®. 
On pourra facilement construire les asymptotes de la courbe £®, en effet : 
On mènera la droite G" h tangente au cercle C h et parallèle à LT ; du point g h de 
contact, on conclura le point cf (qui ne sera autre que le point i®) ; du point r h en 
lequel la droite G'"* et le cercle A h se coupent, on conclura le point r", et la droite i®r® 
sera l’une des asymptotes de la courb £®. 
La courbe £® (fig. 31) ou l’hyperbole H (Jig. 30) sera donc complètement connue 
puisqu’on aura son centre, ses sommets et ses asymptotes, il sera facile de la con 
struire par points ou par un mouvement continu au moyen d’un compas hyperbo 
lique. 
§ II. 
Au lieu de considérer une hyperboloïde de révolution ayant la droite Z pour axe 
de rotation, on pourrait employer un hyperboloïde à une nappe et non de révolu 
tion ayant la droite Z pour axe non transverse; alors les cercles A,C,ô seraient des 
ellipses semblables, semblablement placées et ayant leurs centres situés sur l’axe Z. 
Les constructions seraient les mêmes; seulement, pour déterminer l’ellipse de 
gorge G, il faudrait construire une ellipse G' 1 concentrique et semblable aux ellipses