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Par conséquent, nous pourrons construire pour une position G, du cercleC 
engendrant la colonne torse, la posilion de son centre o, sur l’hélice cylindrique et 
circulaire t décrite par le centre o du cercle générateur C autour de l’axe A; puis 
nous pourrons construire la tangente 0, en o, à l’hélice £, et il nous suffira de mener 
au cylindre A un plan tangent T qui soit parallèle à la droite L. 
Ce plan T touchera le cylindre A suivant une droite G qui coupera le cercle G, 
en un point x, qui appartiendra ù la ligne de séparation d'ombre et de lumière. 
Remarquons que le cercle G pour engendrer la colonne torse ne se meut pas 
parallèlement à lui-même, mais qu’il tourne sur lui-même pendant son mouve 
ment; ainsi, si au lieu d’un cercle pour courbe génératrice , on avait une ellipse 
(par exemple), deux positions successives et infiniment voisines E et E' de l’ellipse 
génératrice ne détermineraient pas un cylindre tangent à la surface suivant la 
courbe E; mais de quelque manière que se meut un cercle C dans l’espace, 
pourvu que les deux positions successives et infiniment voisines G et G' soient 
dans des plans parallèles entre eux, le cylindre existe. 
2 e solution. On peut encore résoudre le problème : 
Déterminer la ligne de Réparation d'ombre et de lumière sur la colonne torse, en 
vertu de la propriété géométrique dont jouit cette surface, savoir (ainsi qu’il a été dit 
précédemment): que les tangentes menées aux diverses hélices décrites par les divers 
points du cercle générateur G autour de l’axe À (ces tangentes étant menées à ces 
hélices en chacun des points du cercle G ) forment les génératrices droites du 
i" système d’un hyperboloïde à une nappe et non de révolution 2, tangent à la 
surface 2 (engendrée par le mouvement hélicoïdal du cercle C) suivant ce cercle C. 
Si donc l’on construit sur l’hypei boloïde 2, la courbe de contact 6 d’un cylindre A, 
tangent à cette surface A,, ce cylindre A, ayant ses génératrices droites parallèles 
au rayon lumineux, la courbe 6 coupera le cercle C de la surface 2 en un pointa: 
qui appartiendra à la ligne de séparation d’ombre et de lumière. 
Or, puisque la surface 2, est une surface du second ordre, nous savons que la 
courbe 6 sera plane, son plan P coupera le plan du cercle G en deux points x etx• 
qui détermineront une droite T (il est important de remarquer que la droiteT passera 
par le centre o du cercle C, parce que le plan de la courbe de contact d’une surface 
du second ordre et d’un cylindre est toujours un plan diamétral de la surface du se 
cond ordre); ainsi à chaque construction, pour chaque position du cercle généra 
teur C, on déterminera deux points de la ligne de séparation d’ombre et de lumière 
sur la colonne torse éclairée par un rayon de lumière. 
Comment déterminerons-nous le plan P de la courbe 6? Voyons si les construc 
tions ne seront pas trop longues et trop difficiles. 
D’après ce qui a clé dit, nous savons 1° que l’hyperbolcide 2. a le cercle C pour