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PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE (fig. 26). 
Étant donné une ellipse E sur un plan P; menant par le centre o de l’ellipse E 
une droite D de direction arbitraire dans l’espace ; prenant sur la droite D un point 
d arbitraire ; menant par ce point d un plan Q parallèle au plan P ; faisant passer 
par la droite D un plan X qui coupera l’ellipse E suivant un diamètre mm, et le 
plan Q suivant une droite 0, on pourra toujours construire une parabole et une 
seule parabole ayant mm pour corde et la droite D pour diamètre conjugué de 
cette corde ; faisant varier le plan X, on obtiendra une suite de paraboles £/, 
qui formeront le paraboloïde elliptique 
HYPERBOLOÏDE A DEUX NAPPES (fig. 27). 
Étant donnée une ellipse E sur un plan P ; menant par le centre o de l’ellipse E 
une droite D de direction arbitraire dans l’espace; prenant sur cette droite D deux 
points d et d'arbitraires par rapport au centre o de l’ellipse E, mais situés d’un 
même côté par rapport au plan P ; menant par ces points d et d' deux plans Q et Q' 
parallèles entre eux et au plan P ; faisant passer par la droite D un plan X qui cou 
pera l’ellipse E suivant un diamètre mm, et les deux plans Q et Q' suivant des droi 
tes 9 et 9', on pourra toujours construire une hyperbole \ x , et une seule hyperbole 
ayant mm pour corde et la droite dd' pour diamètre conjugué de cette corde van'. 
(Le centre de cette hyperbole sera en q milieu de dd', et l’on pourra construire 
les asymptotes A et B de cette courbe) ; faisant varier le plan X, on obtiendra une 
série d’hyperboles \ x , £/, £/'— qui formeront un hyperboloïde à deux nappes 2 a , et 
le cône asymptote 8 de cette surface sera formé par les diverses asymptotes A et B, 
A' et B', A" et B"— des hyperboles l 2 , \ x —; et le cône 3 sera coupé par le 
plan P suivant une ellipse E., extérieure, semblable et concentrique à l’ellipse E, et 
le centre de ce cône 3 sera au point q, lequel sera le centre de l’hyperboloïde 2,. 
HYPERBOLOÏDE A UNE NAPPE (fig. 28). 
Étant donnée une ellipse E sur un plan P ; menant par le centre o de cette ellipse 
E une droite D de direction arbitraire dans l’espace ; menant par la droite D un 
plan X qui coupera l’ellipse E suivant un diamètre mm', on pourra toujours con 
struire dans ce plan X une hyperbole g 3 , et une seule hyperbole ayant le point o 
pour centre, mm pour diamètre ; et tangente en m et m à deux droites I et I' parai-