Il est évident que l’on peut employer le même mode de démonstration pour les 
deux hyperboloïdes, et ainsi les couper par une sphère S ayant même centre que la 
surface du second ordre considérée; tout ce qui a été dit pour l'ellipsoïde se répétera 
mot à mot pour l’un ou l’autre des deux hyperboloïdes. Ce mode de démonstration 
sera dès lors indépendant de la propriété dont jouissent chacun des hyperbo 
loïdes, savoir : que l’un et l’autre ont un cône asymptote. 
pectivement suivant les axes coordonnées des x, y, z; l’origine de ces coordonnées étant au centre 
et de la sphère et de l’ellipsoïde. 
L’ellipsoïde ayant trois axes inégaux, établissons la condition a<ô<c, l’axe 2b étant Taxe moyen, 
l’axe 2a étant le plus petit axe, et l’axe 2c étant le grand axe de la surface ellipsoïde. 
De plus, R pourra être 1° égal ou plus petit que c; 2° plus petit que c et plus grand que b; 3° égal 
à b ou plus petit que b; 4° égal à a ou plus petit que a. 
Cela posé : 
Les équations des projections de la courbe x intersection de la sphère et de l’ellipsoïde seront : 
Sur le plan (c, b) ou des (2, y) : 
Sur le plan (c,a) ou des (z,x) : 
Sur le plan (6, a) ou des (x, y) : 
Cela posé : 
1° Si l’on suppose R = c, on voit de suiteque la sphère et l’ellipsoïde sont en contact par deux 
points qui sont les extrémités du grand axe^c", et que les deux surfaces n’ont de commun que ces 
deux points, et la sphère enveloppe l’ellipsoïde. 
2° Si l’on suppose R=6, on voit que la courbe X se projette sur le plan (c, a) suivant deux lignes 
droites; par conséquent cette courbe 5k est composée de deux courbes planes qui sont les sections 
diamétrales circulaires de l’ellipsoïde. 
5° Si l’on suppose R=a, l’on voit que la sphère touche la surface ellipsoïde en deux points qui 
sont les extrémités du petit axe 2a, et que les deux surfaces n’ont en commun que ces deux points, 
la sphère étant enveloppée par l’ellipsoïde. 
4° Si l’on suppose c>R>ô, l’on voit que la courbe X se projette sur le plan (c,a) suivant des arcs 
d’hyperboles ayant l’axe 2c pour axe transverse et pour asymptotes les droites projections sur ce 
plan (c, a) des sections circulaires. 
5° Si l’on suppose 6>R> a, l’on voit que la courbe X se projette sur le plan (c,a) suivant des arcs 
d’hyperboles ayant l’axe 2a pour axe transverse et pour asymptotes les droites projections sur ce 
plan (c, a) des sections circulaires, etc., etc. 
Si l’on a le relief d’un demi-ellipsoïde s à trois axes inégaux, il sera facile de tracer mécaniquement 
sur ce relief les courbes X... intersections de sphères de rayons différents. Et en effet, l’on n’aura qu’à 
placer la pointe d’une des branches d’un compas (à branches courbes) au centre de la surface x (lequel 
centre sera sur la base diamétrale du solide), et à décrire une courbe sur le solide avec la pointe de 
la seconde branche du compas. 
Si la distance des deux pointes est égale à l’axe moyen 26, on tracera facilement sur le solide les 
deux demi-cercles diamétraux (des sections circulaires), etc. 
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