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points p, p', p”, ... menons des parallèles à une seconde droite J. et prenons sur 
ces parallèles des points m„ m'\, ... tels que l’on aie : 
mp : m'p' : m'p" ; etc, : : m,p : m',p' : m", p" : etc. 
les points m,, m',, m”, ... seront sur une droite D, passant par le point o. 
On pourra dire que la droite D, est la transformée cylindrique de la droite D ; 
mais elle ne sera plus sa transformée d’une manière directe, car pour passer de 
la droite D à la droite D, on s’est appuyé sur la droite Y ; c’est pourquoi on doit 
donner à la droite Y le nom d'axe de transformation cylindrique. 
Ce que nous venons de faire dans un plan, nous pouvons l’effectuer dans l’es 
pace et de la manière suivante. 
Par une droite Y menons deux plans P et P t ; coupons les deux plans P et P, 
suivant les droites J et J, par un plan quelconque Q; cela fait, traçons dans le 
plan P une droite D coupant la droite Y au point o, puis menons par les divers 
points m, m', m", ... de D des parallèles à J, lesquelles couperont Y aux points p, 
p\ p”, ... enfin menons par les points p,p’, p u , ... des parallèles à J, et prenons sur 
ces parallèles des points m„ m\, m ,f n etc., tels que l’on aie : 
mp m'p' ; m"p" : etc.. :: m,p : m\p' : m",p" : etc. 
les divers points m\ m\, m" t , seront sur une droite D, située dans le plan P, et 
passant par le point o. 
Il est évident que si l’on prend sur la droite D deux points x et y, le point q 
milieu de xy aura pour transformé sur D,: le point q x qui sera le milieu de la droite 
x x y x , les points x¡ et y l étant les transformés sur la droite D, des points x et y de la 
droite D. 
Cela posé : 
Remarquons que les droites mm x , m r m l t9 m’m n 1 , ... seront toutes parallèles 
entre elles et situées dans le plan X passant par les droites D et D x , et de plus on 
aura : 
mm, : mW, ; m'W', ; etc. mp : m'p' : m'p" : etc. m,p : m\p' : m",p" ; etc. 
On aura aussi : 
mm, : mW, : m'W', : etc. mo ; m'o : m"o : etc. :: m,o : m',o : m", o ; etc. 
on peut donc regarder les deux droites D etD, (en tant que situées dans le plan X) 
comme étant l’une D, la transformée cylindrique directe de l’autre droite D.