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Die Doppelverhältnisse von vier Elementen. 16. 
Reihe, so bilde man über ihnen ein Strahlenbüschel a, b, c, d 
und schneide dasselbe durch eine Transversale aus A parallel dem 
Strahl cl in den Punkten.#', C\ со'; dann ist [ABCB]—{AB'Ccc') 
d. i. — А С : BCman construiert ebenso bequem aus 
( А В'ос'В') = В’В’ : A'B’; 
aus (AooCJD') = AC’ : AB' und aus {ooBC'B') — Б В' : BC’. 
Soll also z. B. in Fig. 25 В so bestimmt werden, dass 
{ABCB) — 2, 5 sei, so trage Fig. 25. 
man auf eine durch A ge- ~¡rc r 
zogeneGeradeAC'=5, B'C'—2 4 , v \ 
in beliebiger Einheit auf; dann 
liefern die Geraden BB\ CC’ X, У я: Т 
als ihren Schnittpunkt den B Х ч \ 
Scheitel T des Büschels und . 
der zu AB'C' parallele Strahl 
aus diesem bestimmt in der Reihe ABC den Punkt B. 
7) Man verfolge die Bewegung des Punktes В durch die Reihe, 
indem das Doppelverhältniss die Reihe der positiven und negativen 
Zahlen durchläuft. 
Man constriñere insbesondere den vierten harmonischen Punkt 
В zu der Gruppe ABC, z. B. die Centralprojection des Mittel 
punktes C der in А'B' projicierten Strecke der Geraden SQ'. 
(Yergl. unter 13) die Construction mit Hilfe des Lineals allein.) 
8) Da sich die vier Elemente А, В, С, В in 24 verschiedene 
Gruppen ordnen lassen, so entspringt die Frage nach der Beziehung 
des Doppelverhältnisses einer Gruppe {AB CB) zu denen der 23 
übrigen Gruppen. Sie wird durch das Folgende erledigt. Man er 
kennt durch Bildung der Doppelverhältnisse unmittelbar die Richtig 
keit der folgenden Tafel: 
{AB CB) = {BABC) = {CB AB) = {В CB A) = d x , 
{В A CB) = {AB В C) = {CBB A) = {B CA B) = 1 ; 
{BCAB) = {CB В A) = {AB ВС) = {В A CB) = d 2 , 
{CB AB) = {BCBA) = {ABCB) = {BABC) = d 2 ~ l \ 
{САВВ) = {A CBB) = {БВСА) = {BBAC) = d¡, 
{АС В В) = {САВВ) = {В В АС) = {В В С А) = df~ l . 
Ferner die Relation d í d 2 d 3 = — 1. 
Betrachtet man aber {ABCB) und (ACBB), so zeigt die 
Methode von 6) oder die Auswerthung durch Projection von В in’s 
Unendliche, ihre Werthe gleich ÄC : B'C' und A B' : C B' oder 
B'Ä : B C', d. h. ihre Summe ist gleich Eins. Man hat also 
d x -f- df 1 — 1 und ebenso d 2 -(- = 1, d 3 -(- ñ 2 —1 = 1. 
9) Für d i gleich —1, 0, —{— 1, oo erhält man d 2 und d 3 respec 
tive gleich