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I. Methodenlehre: A) Centralprojection. 20. 
des Systems (§ 15.) fallen verkehrt auf einander. Man kann 
zwei projectivische Reihen daher in zweierlei Weise 
involutorisch machen; bei der einen kommen die entsprechen 
den Null strecken G mit G', H mit H' zur Deckung und bilden zwei 
sich selbst entsprechende oder Doppelpunkte G und //; bei der 
andern fällt G auf H\ G' auf H und Doppelpunkte existieren nicht. 
Bei der letzteren trennen sich die Paare, bei der ersteren nicht. 
Die Construction von § 19., 13 zeigt dasselbe und giebt die Doppel 
punkte im ersten Falle durch GM = HM = k. Die erste Art ent 
spricht offenbar der Involution ebener Systeme durch Centralprojection. 
9) Projectivische Büschel von einerlei Scheitel in derselben 
Ebene werden involutorisch, wenn man ihre entsprechenden Recht 
winkelpaare zur Deckung bringt, q mit r', q mit r; man sagt, 
dass diese die Axen der Involution bilden. Offenbar können 
also solche Büschel in zweierlei Art involutorisch gemacht werden. 
Im einen Falle, nämlich bei entgegengesetztem Sinn der beiden 
Gebilde oder sich nicht trennenden Paaren, hat die Involution reelle 
Doppelstrahlen, in andern nicht. 
10) Wir könnten auch aus der doppelten Möglichkeit der involu- 
torischen Lage schliessen, dass es in projectivischen Strah 
lenbüscheln zwei Systeme entsprechend gleicher Winkel 
giebt; aber wir wissen schon, dass dieselben zu den entsprechen 
den Rechtwinkelstrahlen in analoger Beziehung stehen, wie die 
gleichen entsprechenden Strecken zu den Gegenpunkten; etc. (Yergl. 
§ 15.; § 18., 5.) 
11) Die Doppelstrahlen entstehen durch die Vereinigung der 
entsprechenden Nullwinkel g, g und ä, h r . Bei der entgegenge 
setzten Aufeinanderlegung fällt g auf h und g auf h und diese 
bilden ein Paar, welches zum Rechtwinkelpaare symmetrisch liegt. 
In der perspectivischen Lage lassen sich beide Systeme entsprechend 
gleicher Winkel im Anschluss an die Rechtwinkel angeben; im Falle der 
Fig. 30 wird das eine durch die Schnitte der Kreise mit der per 
spectivischen Axe bestimmt, welche die Scheitel T, T' enthalten 
und in diesem giebt es zwei Nullwinkel, weil zwei die perspecti- 
vische Axe berührende Kreise. Für T" als Schnitt der Axe mit der 
Geraden TT und t als Länge der von T" an diese Kreise gehen 
den Tangenten, gehen sie nach den Punkten der Axe, welche die 
Entfernung t von T haben. Der Kreis mit den Radius t aus T" 
schneidet alle Kreise des Systems rechtwinklig. Das andere System 
erhält man ebenso durch die Kreise, welche die Punkte T und T*, 
den zur Axe in Bezug auf T orthogonal symmetrischen Punkt ent 
halten; es enthält keine Nullwinkel, seine Paare werden durch die 
Rechtwinkelstrahlen getrennt. 
12) Die Relation (^ÄBMoo) = {A B'ooM^ giebt: 
AM.A'M=BM.B'M=±k* (§ 15. u. § 16., 10.) 
für entgegengesetzten respective gleichen Sinn und eine entsprech