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I. Methodenlehre : A) Centralprojection. 22. 
Eine Skitze c. zeigt endlich, dass sie auf zwei verschie 
dene räumliche Lagen zurückkommen und die jedesmaligen 
beiden Umlegungen repräsentieren, nämlich A rechts und links mit 
j*' . . . rechts, Ä . . . links; und Ä rechts und links mit A rechts 
und A* . . . links. 
2) Welche Specialitäten ergehen sich für die centrische Col- 
lineation eines Quadrats mit einem beliebigen Viereck? Wie könnte 
dieselbe ohne Zuhilfenahme der Projectivitätsgesetze hergestellt 
werden, auf Grund der Rechtwinkligkeit der Seiten und Diagonalen 
des Quadrats? 
3) Wenn zwei collineare ebene Systeme einen Strahlenbüschel 
Strahl für Strahl entsprechend gemein haben, so haben sie auch 
eine gerade Reihe Punkt für Punkt entsprechend gemein und sind 
in perspectivischer oder centrischer Lage (vergi. § 19., 11). 
4) Wenn also insbesondere zwei ebene Systeme (1), (2) mit 
demselben dritten System (3) für das nämliche Centrum 6 centrisch 
collinear sind, so sind sie es auch unter einander. Die Collineations- 
axen gehen durch einen Punkt S. 
Sind A i3 — {(ES Ai A 3 ), A 23 — ((S / SA 2 A 3 ) die Characteristiken 
der gegebenen Collineationen, so ist die Characteristik der Systeme 
(1) und (2) 
A 12 — (65 A i A 2 ) — A 13 : A 23 . 
Man zeige, dass die Gegenaxen der letztem Collineation durch 
die Punkte gehen, in denen die Collineationsaxe s 2 der erstem von 
der Gegenaxe q { der zweiten und die Collineationsaxe s 1 der zweiten 
durch die Gegenaxe q 2 der ersten geschnitten wird. 
Für A n — A 23 erhält man A n — 1; die Collineationsaxe s 3 
geht durch das Centrum und die Gegenaxen q/, sind äquidistant 
von ihr. (§ 20.) 
Für A x3 — — A 23 wird A i2 = — 1; d. h. es entsteht Invo 
lution; ist parallel zur Verbindungslinie q s 'r 3 der Punkte q( 
und Sj, q 2 und von ihr ebensoweit entfernt wie 6« Man untersuche 
die den Unterscheidungen des § 21. entsprechenden Specialfälle. 
5) Wenn zwei ebene Systeme mit demselben dritten System 
für dieselbe Axe s centrisch collinear sind, so sind sie es auch 
unter einander. Das entsprechende Centrum liegt in der Verbin 
dungslinie c der beiden gegebenen Centra; aus A n = {csa l a 3 ), 
^23 = (c^« 2 « 3 ) folgt A n = (csa, a 0 ) = A ]3 : A n - etc. 
6) Schreibt man (A . BCDX) = (Ä . B'C'D'X) in entwickel 
ter Form, 
sin BAD sin BÄX sin B'a'B' sin B'A'X' 
sin CAB sin CAX shTcAÌB' ’ sin C'/T’ 
so hat man sofort 
BA . DA . sin BAD CA . XA . sin BAX 
CA . DA . sin CAD ‘ CA . XA. sin7CAX = ’ ' '