Involutionen harmonischer Polaren und Pole. 32. 
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harmonis eher Polaren um 
den betrachteten Punkt. 
Sind a, a zwei Tangenten 
mit entsprechenden Berüh 
rungspunkten also aus einem 
Punkt von s, so giebt jedes 
andere Paar x, x in den Ver 
bindungslinien von ax, a x 
und ax, ax zwei verkehrt auf 
einander fallende Strahlen aus 
(£ d. h. ein Paar derlnvolution. 
Die Doppelstrahlen dersel 
ben sind Tangenten des Kegel 
schnitts aus dem Punkte. 
harmonischer Pole in der 
betrachteten Geraden, 
Sind A, Ä zwei Punkte mit 
entsprechenden Tangenten, al 
so auf einem Strahl aus (£, 
so giebt jedes andere Paar X, 
X' in den Schnittpunkten von 
AX, ÄX' und AX', ÄX zwei 
verkehrt auf einander fallende 
Punkte in s, d, h. ein Paar 
der Involution. 
Die Doppelpunkte derselben 
sind Schnittpunkte des Kegel 
schnitts mit der Geraden. 
Die Involution harmonischer Polaren um einen Punkt und 
die Involution harmonischer Pole auf der Polare dieses Punk 
tes sind perspectivisch. 
Diese wichtigen Sätze lassen sich auch direct aus der 
Erzeugung der Kegelschnitte durch projectivische Gebilde 
erster Stufe ableiten. Denn nach § 20., 13. bestimmt jeder 
Punkt mit zwei projectivischen Reihen, deren perspectivische 
Axe ihn enthält, projectivische Büschel in Involution, und 
jede Gerade schneidet aus zwei projectivischen Büscheln, 
deren perspectivisches Centrum auf ihr liegt, zwei projecti 
vische Reihen in Involution. Wenn man also durch den Punkt 
P eine Gerade zieht, die den Kegelschnitt zweimal schneidet 
und aus demselben die ihn erzeugenden projectivischen Reihen 
in den Tangenten der Schnittpunkte projiciert, so entsteht 
hierdurch ein involutorisches Büschel; und wenn P ausserhalb 
des Kegelschnittes liegt, so ist die Unabhängigkeit dieser In 
volution von der Wahl der Transversale aus P durch die har 
monische Relation ihrer Paare zu den Tangenten aus P evident. 
Ebenso für die Involution in der Geraden p, falls dieselbe den 
Kegelschnitt schneidet. Demnach sind diess die Involutionen 
harmonischer Polaren aus P und harmonischer Pole auf p. 
Dieselbe Unabhängigkeit beweist man aber auch im andern 
Falle sehr einfach, z. B. für den innerhalb des Kegelschnitts 
liegenden Pol P wie folgt. Zieht man durch P zwei Gerade, 
die den Kegelschnitt in A l , C i und in , D { respective schnei- 
l'iedler, darstellende Geometrie. 2. Aufl. 8