XVIII 
Zur zweiten Auflage. 
zweiter Stufe mit singulären Elementen, Bei der V er 
bindung collinearer Gebilde zweiter Stufe zu Strahlencongruen- 
zen und zu Curven dritter Ordnung respective developpabeln 
Flächen dritter Classe, und bei der Verbindung reciproker 
Gebilde zweiter Stufe zu Flächen zweiten Grades etc. liefert 
die Mitinbetrachtnahme der Projectivitäten mit singulären 
Elementen die Degenerationsformen der allgemeinen Erzeugnisse 
leicht und sicher, und sie zeigt z. B. dass die Construction der. 
Regelfiächen zweiten Grades aus projectivischen Gebilden erster 
Stufe ein specieller Pall der allgemeinen Erzeugung aus reci- 
proken Gebilden zweiter Stufe ist.*) 
Aber diese Anwendung gehört dem dritten Theile des 
Buches an, von welchem als seiner beträchtlichsten und wesent 
lichsten Erweiterung hier noch zu sprechen ist. Das frühere 
Schlusskapitel von den projectivischen Coordinaten, ein Bruchstück 
aus meinen regelmässigen Vorlesungen über die Geometrie 
der Lage, welches für den Gedankengang meines Buches be 
sonders nothwendig erschien und darum demselben schon bei 
seinem ersten Erscheinen einverleibt wurde, ist nun in eine voll 
ständige Ausführung des Inhalts dieser Vorlesung umgewandelt 
worden; denn ich fühlte mich verpflichtet, nun auch hier wie schon 
immer in meinen Vorträgen zu zeigen, in welcher Art sich die 
wissenschaftliche Weiterentwickelung der Geometrie 
von den an der Hand der Darstellungsniethoden ge 
wonnenen Grundlagen und Ergebnissen aus vollzieht. 
Diese Weiterentwickelung gliedert sich naturgemäss nach 
folgenden Momenten: A) Die von den Voraussetzungen der Elemen 
targeometrie unabhängige definitive Begründung der Projectivität 
der Gebilde erster Stufe, mit Einschluss der imaginären Elemente 
(§§ 131 —136.); auf Grund dessen und unter alleiniger Verwendung 
der fundamentalen Doppelverhältuissrelationen die Entwickelung 
der projectivischen Coordinaten für alle Stufen (§§ 138—145.) 
mit ihren speziellen Formen, den Cartesischen und Plücker’schen 
Coordinaten, und die geometrische Deutung homogener Gleichun 
gen wie in der Hauptsache schon früher. B) Die Zahl der linearen 
Bestimmungselemente von algebraischen Curven, Flächen etc., die 
*) Während des Druckes erschien eine Abhandlung von T. A. Hirst 
„On the Korrelation of two planes“, in welcher von denselben singu 
lären Projectivitäten ein interessanter Gebrauch in ganz anderer Richtung 
gemacht ist.