Entwickelung: Krümmungen. — Die Schraubenlinie. 73. 253
und da die Kantenwinkel cc, ß 1f ß 2 einer dreiseitigen Ecke ange
hören, die an der Kante AB den Elächenwinkel cp hat, den Neigungs
winkel der Ebene der Curvenelemente ABC, welche in B zusam-
menstossen, mit der Tangentialebene in B, so ist:
d. h.
cos cp — lim
cos ß 2 — cos a cos ß,
lim •
sin a sin ß,
cos (/ -f- ßi) —cos y cos ß,
lim •
sm 7 sin p,
cos ß l (cos y — cos y) -{- sin y sin ß,
cos cp
sin y sm pj
/
y ’
weil die Cosinus der unendlich kleinen Winkel y, y gleich Eins und
ihre sinus den Bögen gleich werden.
Nach der indirecten Proportionalität dieser Contingenzwinkel
zu den bezüglichen Krümmungsradien hat man den Satz; Die Krüm
mungsradien einer Curve und ihrer Transformierten in
entsprechenden Punkten verhalten sich wie der cosinus
des Winkels der Schmiegungsebene der Curve und der
Tangentialebene der Developpabein zur Einheit. Für
cp = 90° wird daher der Krümmungsradius der Transformierten un
endlich gross.
5) Man erörtere die Anzahl und die Bedingungen der Realität
der Inflexionen für die Abwickelungen der ebenen (elliptischen, para
bolischen, hyperbolischen) Schnitte des geraden Kreiskegels; resp.
der elliptischen des geraden Kreiscylinders.
6) Man construiere einen ebenen hyperbolischen Schnitt des
geraden Kreiskegels und seine Abwickelung für zwei reelle Inflexionen
der Letzteren.
7) Die Entwickelung des elliptischen Schnittes des Rotations-
cylinders — die Sinusoide — zeigt zwei Scheitel-Punkte A, B, deren
Tangenten zu den Erzeugenden normal sind, und zwei Inflexions
punkte /,, J 2 mitten zwischen denselben. Was ergiebt sich für die
Lage der Tnflexionstangenten ?
8) Können in den Abwickelungen der ebenen Schnitte des Ro
tationskegels Doppelpunkte oder insbesondereRtickkehrpunkte
auftreten? Welches ist ihre Bedeutung?
73. Die geodätische Linie auf der Fläche des
Rotationscylinders nennt man die Schraubenlinie
oder Helix; die von ihren Tangenten erzeugte Fläche ist
die developpable Schraubenfläche.
Als wichtigste Anwendung des Vorigen und als erstes
