Die Schraubenlinie der Krümmungscentra. 77.
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2) Die Schraubenlinien von derselben Axe und Ganghöhe auf
der developpabeln Fläche (§ 74.; 2.) verwandeln sich bei der Ab
wickelung in Kreise, welche zum Kreis S concentrisch sind. Die
Doppelcurven der Fläche (§ 74.; 9.) werden auch zu solchen Kreisen
und diese enthalten die Abwickelungen der Doppelpunkte aller auf
der Fläche zu verzeichnenden Curven.
3) Der Halbmesser des Cylinders von derselben Axe, auf wel
chem die Schraubenlinie der Krümmungsmittelpunkte (§ 73.; 8.)
einer gegebenen Schraubenlinie (r, ß) liegt, ist
Diess giebt die Relation
4) Für die Neigung ß* der Schraubenlinie der Krümmungs
mittelpunkte hat man
tan ß* — i = \—= r—-3 = cotan /3;
2nr* 2 7crtan 2 |3 tan ß
d. h. die Tangenten der Schraubenlinie und die bezüglichen Tangenten
der Schraubenlinie ihrer Krümmungscentra sind normal zu einander.
Die Projectionen beider Schraubenlinien auf eine zur Axe parallele
Ebene schneiden sich deshalb rechtwinklig in der Projection der
Letzteren. (Yergl. Tafel II., § 76.)
Für /3=4 oder 45° oder r — 4- = 0,159.A ist die Schrau-
4 2 %
benlinie der Krümmungsmittelpunkte eine der gegebenen Schrauben
linie gleiche Schraubenlinie; für grössere Neigungen ist r* grösser,
für kleinere kleiner als r. Man characterisiere die Abwickelung des
unter 45° zur Axe geführten Schnittes einer solchen developpabeln
Schraubenfläche hinsichtlich ihrer Inflexionspunkte.
5) Man kann aus der Bestimmung des Krümmungshalbmessers
der Schraubenlinie eine Formel und Construction für den Krüm
mungshalbmesser der Ellipse im Scheitel der kleinen
Axe ableiten. (Yergl. § 36.; 3.) In § 63.; 6. ist bemerkt worden,
dass der Krümmungshalbmesser einer Raumcuxwe im Punkte P dem
Krümmungshalbmesser ihrer Projection auf die zugehörige Schmie
gungsebene gleich ist. Eine solche Projection der Schraubenlinie
— durch Parallelen zur Axe OZ — ist aber die Ellipse, in welcher
die Schmiegungsebene des Punktes den Schraubencylinder schneidet
und diese hat r und r : cos ß zu ihren Hauptaxen b und a. Man
erhält also für den fraglichen Krümmungshalbmesser den Ausdruck
in den Halbaxen der Ellipse a und b
a
und begründet daraus die nachstehende Construction Fig. 161, a).
