290 II. Curven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 81.
Spuren der Kegelflächen — wählt man die Ebene durch eine Gruppe
von drei Punkten P i} z. B. P X P 2 P^ zur Grundebene, so sind die
Spuren durch die vier gemeinsamen Punkte und je einen fünften
Punkt bestimmt — construiert man linear (§ 27.; l b .) die Paare
ihrer Schnittpunkte mit einem um den gleichnamigen Durchstoss-
punkt von MM* sich drehenden Strahl und erhält durch ihre Ver
bindungslinien mit M, respective M* je einen Punkt der Curve;
man construiert ebenso linear die den Paaren dieser Schnittpunkte
des sich drehenden Strahls entsprechenden Tangenten der Spuren
und erhält damit den jedesmaligen gleichnamigen Durchstosspunkt
der zum entsprechenden Punkt der Raumcurve gehörigen Tangente,
Die Aufeinanderfolge dieser Durchstosspunkte der Tangenten bildet
die Spur der developpabeln Fläche der Curve; die Tangente der
Eaumcurve im Punkte P und die Tangente der Spurcurve der Deve
loppabeln im Durchstosspunkt derselben bestimmen die Schmie
gungsebene der Eaumcurve im Punkte P.
7) Alle diejenigen Kegel zweiten Grades, welche dieselben
gleichnamigen Spuren und dieselben zugehörigen Projectionen der
Spitzen und den nämlichen zugehörigen Durchstosspunkt ihrer Ver
bindungslinie haben, erzeugen Durchdringungscurven, für welche
die gleichnamige Projection und die gleichnamige Spur ihrer Tan-
gentenfläche dieselben sind — denn diese wie jene werden ganz
ohne Zuziehung der andern Projectionen der Spitzen bestimmt.
8) Was entspricht dem in 7) bezeichneten Verhalten in der
centralprojectivischen Darstellung ?
9) Zwei Projectionen eines Punktes der Eaumcurve, die eine
Projection der ganzen Curve und die zugehörige Spur ihrer Deve
loppabeln reichen hin zur Bestimmung der Curve und ihrer deve
loppabeln Fläche. Wie in Centralprojection?
10) Es ist unmöglich, dass bei der Raumcurve dritter Ordnung
zwei nicht auf einander folgende Tangenten sich schneiden — weil
sonst in der Ebene derselben die Spuren der erzeugenden Kegel
zwei sich doppelt berührende Kegelschnitte sein müssten, für die
die Verbindungslinie der Spitzen den einen Berührungspunkt ent
hielte. (Vergl. den Text.) Die developpabele Fläche der Raumcurve
dritter Ordnung hat also keine Doppelcurve. (Vergl. § 74,; 9.)
11) Eine stationäre Schmiegungsebene kann eine Eaumcurve
dritter Ordnung nicht enthalten,
12) Man construiere eine Eaumcurve dritter Ordnung so, dass
die erste Projectionsebene sie in einem gegebenen Punkte nach
einer gegebenen Geraden osculiere, während die erste Spur der
einen Kegelfiäche ein Kreis ist,
13) Ein Kegel und ein Cylinder zweiten Grades mit einer
gemeinschaftlichen Erzeugenden können nur eine cubische Ellipse
zur Durchdringung haben; man ordne ihre Durchdringung so an,
dass ihre Asymptote durch einen gegebenen Punkt geht.
