316 II. Curven und Flächen: A) Entwickelbare Flächen. 86. 
5) Wenn von den Spitzen M i} M 2 die eine so liegt, dass von 
ihr an den Kegel der andern keine Tangentialebenen gehen, so sind 
die Spitzen der beiden andern doppelt projicierenden Kegel stets reell. 
6) Die Punkte — in der Fig. Tafel III. C, B, E, F, G, H, 
/, K— in Avelcben die Doppelcurven der developpabeln Fläche der 
Raumcurve vierter Ordnung dieser Curve selbst begegnen, sind die 
Punkte stationärer Ebenen derselben. Ihre Gesammtzahl ist 16; in 
dem durchgeführten Palle sind 8 reell, die in zwei Seitenflächen 
des Tetraeders der Spitzen der doppelt berührenden Kegel liegen 
— in MY*M* und M Y* Y. Die stationären Ebenen selbst sind für 
jede Gruppe von vier die Tangentialebenen des zugehörigen Kegels. 
Die Doppelcurven sind ebene Curven vierter Ordnung mit Doppel 
punkten in den bezüglichen Kegelspitzen oder Tetraederecken (.r=4.4). 
Die Tangenten in den Doppelpunkten sind Inflexionstangenten. Für 
die Gesammt-Dbppelcurve sind diese Punkte also vielfache Punkte. 
Die allgemeine Theorie lässt 16 dreifache Punkte erwarten. 
7) Da die Tangenten in C, D, E, F der Axe y parallel sind, 
so (vergl, § 84., 2) erscheint die zweite Projection der Curve in C 
I)'\ E", F" mit Spitzen, deren Aeste auf einerlei Seite der Tan 
gente liegen. Diess ist die Erklärung der Endstellen des reellen 
Th eiles der zweiten Projection der Curve. Die Punkte C, D, E, F 
können als sich selbst entsprechende Punkte orthogonaler Symmetrie 
der Curve Scheitel derselben genannt werden. 
8) Die stationären Ebenen sind Tangentialebenen von je einem 
der Kegel und die zugehörigen Erzeugenden die Berührungserzeugen 
den desselben. In Figur Tafel III, die in C, I), E, F von Y m und 
die in G, iT, I, K von M*. Diese Ebenen schneiden die Doppel- 
curvenebenen in den bezüglichen Inflexionstangenten der Doppelcurve 
in den Doppelpunkten M* und Y x . Ihre Schnitte mit den Kegeln 
sind vierpunktig berührende Kegelschnitte; der eine ist eine doppelt 
zählende Tangente der drei andern. 
9) Wodurch sind die Punkte characterisiert, in welchen die 
Spur der developpabeln Fläche der Durchdringungscurve die gleich 
namigen Spuren der doppelt berührenden Kegel derselben tangiert? 
Es sind die Durchstosspunkte der Erzeugenden der doppeltprojicie- 
renden Kegel, längs welcher die stationären Schmiegungsebenen be 
rühren. 
10) Die Doppelpunkte der Spur der developpabeln Fläche der 
Curve liegen in den gleichnamigen Spuren der Ebenen ihrer Dop 
pelcurven. 
11) Man bestimme die zwei fehlenden Spitzen der doppelt pro 
jicierenden Kegel für die Durchdringungscurve einer Cylinderfläche 
und einer Kegelfläche vom zweiten Grade mit einer gemeinsamen 
Hauptebene und construiere mittelst der Ebenen der Doppelcurven 
ihrer Developpabeln diese Durchdringung durch Punkte und Tan 
genten. Speciell für einen zur Axe OZ parallelen geraden Kreis- 
cylinder M 1 , Sj) und einen Rotationskegel S 2 2 , dessen Axe die