362 II. Ourven und Flächen: B) Flächen zweiten Grades. 97. 
12, 34; 23, 14; 31, 24, welche paarweis die Richtung einer Axe 
der Fläche gemein haben, schneiden die Fläche zweiter Ordnung in 
Kreisen — weil in Kegelschnitten, welche die Kreispunkte ihrer 
respectiven Ebenen enthalten. (§ 31.; 9.) 
Nur ein Paar dieser Schaaren kann reell sein, d. h. nur durch 
eine Axe der Fläche sind Kreisschnitte möglich — da die Realität 
von zwei Schaaren die des Vierecks 1 2 3 4 bedingen würde. 
In der That, wenn man in demHauptschnittdergrossen 
und kleinen Axe eines Ellipsoids die der mittlern Axe 
gleichen Durchmesser bestimmt, so liefern diese mit 
der mittlern Axe selbst die beiden nach Kreisen schnei 
denden Diametralebenen. Wie lässt sich das Analoge bei den 
Hyperboloiden ausführen? Und wie beim elliptischen Paraboloid? 
(Vergl. § 99.) Man erörtere ferner das die Kreisschnitte der Kegel 
zweiten Grades Betreffende. 
11) Die Tangentialebenen von den Stellungen der Kreisschnitte 
liefern als ihre Berührungspunkte mit der Fläche je ein Paar Punkte, 
die als unendlich kleine Kreisschnitte der Fläche zu betrachten sind, 
d. h. für welche die Involution der conjugierten Tangentenpaare eine 
rechtwinklige Involution ist. Man nennt sie die Kreispunkte, 
Umbilical- oder Nabelpunkte der Fläche. 
12) Insofern man von nicht reellen Regelschaaren auf den Nicht 
regelflächen zweiter Ordnung sprechen und die bezüglichen Eigen 
schaften der Regelflächen auf diese übertragen darf, kann man nach 
§ 93. den Satz aussprechen: Die zwölf Kreispunkte einer 
Fläche zweiter Ordnung liegen zu dreien in acht nicht 
reellen Geraden. 
13) Weil im Falle der Hyperboloide die reellen Gegenseiten 
des Vierecks 1 2 3 4 den unendlich fernen Schnitt der Fläche nicht 
schneiden können, da sonst das Viereck reell wäre, so kann das 
einfache Hyperboloid Kreispunkte nicht haben — was auch aus der 
hyperbolischen Natur seiner Punkte folgt; dagegen hat das zwei 
fache Hyperboloid vier solche Punkte, wie auch das Ellipsoid; auf 
dem elliptischen Paraboloid existieren deren zwei, das hyperbolische 
gestattet keine solchen. 
14) Das hyperbolische Paraboloid kann nicht durch einen be 
weglichen Kreis erzeugt werden, also auch nicht als Rotationsfläche. 
15) Die harmonischen Eigenschaften des Vierecks geben den 
Satz: Die Stellungen der Kr eis schnitte bilden mit denen 
der Hauptschnitte durch die Axe, deren Richtung jene 
enthalten, ein harmonisches Büschel und da die Letztem 
rechtwinklig zu einander sind, so halbieren sie die Win 
kel der erstem. 
16) Man verzeichne für ein Ellipsoid oder zweifaches Hyper 
boloid, welches zur ersten Projectionsebene parallele kreisförmige 
Querschnitte hat, die Schnittpunkte mit einer Geraden h und den