Construction des gemeinsamen Quadrupels. 100. 383 
bekannt ist, so liegen die drei andern in der gemeinschaftlichen 
Polarebene desselben in beiden Flächen und bilden das gemeinsame 
Tripel harmonischer Pole (§ 32.) für die beiden Kegelschnitte, welche 
diese mit den beiden Flächen gemein hat. 
17) Man erläutere die Methode der Construction der Axen einer 
Fläche zweiter Ordnung in § 97. als einen Specialfall der vorigen 
allgemeinen Construction. (Vergl. § 95.; 15.) 
Die Construction geht dort in der unendlich fernen Ebene als 
in der Polarebene des Centrums vor sich und wird an dem aus 
diesem beschriebenen Bündel über ihr ausgeftihrt. Wir wissen (Art. 
97., 9.), dass es sich darum handelt, für den unendlich fernen 
Querschnitt der Fläche und den unendlich fernen imaginären Kreis 
(als Querschnitt der concentrischen Kugel) das gemeinsame Tripel 
harmonischer Pole und Polaren zu construieren; und offenbar ist die 
entwickelte Construction folgendermassen anders ausdrückbar; Wir 
denken die beiden Kegelschnitte oder da die Construction von ihrer 
Realität nicht abhängen darf, die beiden ebenen Polarsysteme, welche 
sie bestimmen, d. i. zu denen sie als Directrix-Curven gehören, ge 
geben; wir lassen einen Punkt eine gerade Reihe g durchlaufen und 
bestimmen als Schnittort der entsprechenden Strahlen ihrer Polaren- 
büschel die Kegelschnittbahn G des in beiden Systemen zugleich 
ihm conjugierten Punktes; wir thun dasselbe für eine zweite gerade 
Reihe h mit dem Kegelschnitt H. 
Dann bilden die drei Punkte, welche G und H ausser dem dem 
Punkte {g, h) doppelt conjugierten mit einander gemein haben, das 
gemeinsame Tripel der harmonischen Pole. Ihre Verbindungslinien, 
das gemeinsame Tripel der harmonischen Polaren, können direct durch 
die entsprechende Construction gefunden werden, wo man zu den 
Strahlen zweier Büschel die Kegelschnitt-Enveloppen der ihnen ge 
meinsam conjugierten Strahlen ermittelt und die drei gemeinsamen 
Tangenten derselben aufsucht, welche sie ausser der dem Scheitel 
strahl doppelt conjugierten Geraden besitzen. 
18) Man construiert das gemeinsame Quadrupel harmo 
nischer Pole für zwei Flächen zweiter Ordnung auch, 
indem man für zwei willkürlich gewählte Ebenen — die eine kann 
als die unendlich ferne Ebene gedacht werden — die cubischen 
Raumcurven ihrer Pole (13) in Bezug auf die Flächen des Büschels 
bestimmt; da dieselben auf dem Hyperboloid liegen, welches nach 
(12) der Durchschnittslinie beider Ebenen entspricht, so schneiden 
sie einander und die Schnittpunkte derselben sind die Punkte des 
gemeinsamen Quadrupels. Man beweist auch leicht direct, dass solche 
zwei cubische Raumcurven nur vier Punkte gemein haben können. 
Die cubische Raumcurve, welche der unendlich fernen Ebene ent 
spricht, ist die Ortscurve der Centra der Flächen des 
Büschels — in welcher die Punkte des Quadrupels als Centra der 
durch die Curve gehenden Kegelflächen zweiten Grades liegen müssen.