384 II. Curven und Flächen: B) Flächen zweiten Grades. 100. 
Man bedarf zur Construction ausser den beiden gegebenen noch vier 
Flächen des Büschels, die man durch drei unendlich ferne Punkte 
und einen Punkt im endlichen Baume gehen lässt, welche dann 
zugleich als Bestimmungspunkte der beiden Ebenen dienen werden. 
19) Wenn die gegebenen Flächen zweiter Ordnung sich auf 
Curven in einer Ebene reducieren — durch Eeduction der Längen 
der zu dieser Ebene conjugierten Durchmesser auf Null — so er- 
giebt sich aus der vorigen Construction diejenige, welche zur Be 
stimmung des gemeinsamen Tripels harmonischer Pole der zwei 
Kegelschnitte dient. 
20) Wie liegt das gemeinsame Quadrupel harmonischer Pole 
in den besondern Fällen der Durchdringung mit Doppelpunkt unter 
5) und mit Btickkehrpunkt unter 6)? (Yergl. § 85.) 
21) Ein Flächenbüschel zweiter Ordnung wird von einer Ebene 
in einem Curvenbüschel zweiter Ordnung geschnitten, d. h. in einem 
Büschel Von Kegelschnitten, welche durch dieselben vier Punkte 
gehen; im Allgemeinen sind diese von einander verschieden. 
22) Enthielt die Ebene eine Tangente der Curve vierter Ord 
nung, welche allen Flächen des Büschels gemeinsam ist, so wird 
das Büschel von solchen Kegelschnitten gebildet, die sich in einem 
Punkte berühren und in zwei andern Punkten schneiden. 
23) Enthält die Schnittebene zwei Tangenten der Curve vierter 
Ordnung oder gehört sie als Tangentenebene zu einem ihrer dop- 
peltprojicierenden Kegel, so besteht das Büschel aus Kegelschnitten, 
die einander in zwei festen Punkten berühren. Der Schnittpunkt 
der Tangenten liegt in der Doppelcurve der Developpabeln, d. h. in 
einer der Ebenen des Quadrupels. 
24) Ist die Schnittebene eine Sehmiegungsebene der Raumcurve 
vierter Ordnung, so haben die Kegelschnitte des in ihr liegenden 
Büschels im entsprechenden Punkte der Curve eine Osculation und 
schneiden sich überdiess in einem andern festen Punkte. 
25) Die stationären Ebenen der Raumcurve vierter Ordnung 
schneiden das zugehörige Flächenbüsehel in Kegelschnitten, die im 
entsprechenden Punkte derselben eine vierpunktige Osculation haben. 
Nach 23) können solche Punkte nur in den Quadrupel-Flächen liegen, 
sind also die Schnittpunkte der Curve mit diesen, (a = 16.) 
26) Die gemeinsame Tangentialebene der beiden Kegel zweiten 
Grades, als deren Durchdringung in § 85. die Curve vierter Ord 
nung mit Rückkehrpunkt entstand, schneidet das entsprechende 
Flächenbüschel zweiter Ordnung in einem Kegelschnittbüschel aus 
Paaren gerader Linien durch den Rückkehrpunkt, d. h. in einer In 
volution von Strahlen (5), welche die entsprechenden Kegelerzeugen 
den zu Doppelstrahlen hat. Alle Flächen dieses Büschels sind somit 
Regelflächen. 
27) Man weise die vorhergehenden Arten der Kegelschnitt 
büschel als Schnitte des Flächenbüschels zweiter Ordnung, welches