440 II. Curven und Flächen: C) Die -windschiefen Flächen. 114. 
2) Wenn ein einfaches Hyperboloid, welches die Doppelgerade 
zur Erzeugenden hat, die Regeliiäche dritten Grades schneidet, so 
zählt diese Gerade in der Durchdringung doppelt und der Rest der 
selben muss eine Raumcurve vierter Ordnung sein. Da das Hyper 
boloid durch zwei projectivische Ebenenbüschel entsteht (§ 90.), so 
ist diese Raumcurve vierter Ordnung der Ort der Durchschnitts 
punkte der entsprechenden Ebenen von drei Büscheln, von denen 
das eine — die Doppelgerade der Fläche dritterOrdnung ist seine 
Scheitelkante — eine Involution von Ebenenpaaren ist; diesen Paaren 
entsprechen die Ebenen eines zweiten durch die einfache Leitgerade 
der Fläche einzeln, während das dritte wiederum zu diesem und 
also auch zu dem Vorigen projectivisch ist. 
Die Geraden der beiden Schaaren des Hyperboloids verhalten 
sich offenbar wesentlich verschieden zu dieser Curve; die Geraden 
derjenigen Schaar nämlich, zu welcher die Doppellinie der Regeliiäche 
dritten Grades nicht gehört, schneiden die Curve je einmal, weil 
sie mit der Regelfläche nur drei Punkte gemein haben können und 
sie in der Doppellinie bereits zweimal schneiden; die Geraden von 
der Schaar der Doppellinie selbst schneiden sie dreimal — die Pro 
jection dieser Curve aus einem ihrer Punkte ist also stets eine Curve 
dritter Ordnung mit einem Doppelpunkt; sie ist also von der in 
den §§ 86., 100. studierten Art der Curven vierter Ordnung, in 
welchen sich unendlich viele Flächen zweiten Grades schneiden, 
wesentlich verschieden. 
3) Vier feste Punkte der soeben gebildeten Raumcurve vierter 
Ordnung bestimmen mit jeder sie dreimal schneidenden Geraden 
(vergl. 2.) ein Ebenenbüschel von constantem d. i. von der Lage 
dieser Geraden nicht abhängigem Doppelverhältniss. 
4) Unter den Erzeugenden des einfachen Hyperboloids, welches 
durch diese Curve vierter Ordnung geht, sind vier Tangenten der 
selben; sie bilden mit der Curve, die als Rückkehrkante in der de- 
veloppabeln Fläche im Durchschnitt doppelt zählt, die vollständige 
Durchdringung des Hyperboloids mit der developpabeln Fläche der 
Curve, d. h. diese Durchdringung ist von der zwölften und somit 
die developpable Fläche von der sechsten Ordnung. Durch einen 
beliebigen Punkt gehen sechs Schmiegungsebenen der Curve. Die 
selbe hat also die Charactere m — 4, n = 6, r = 6 und somit 
ferner a = 4, ß — 0; g — 6, h — 3; x — 6, y = 4; ganz so 
wie die Curve in §83.; *11), a). Diese Zahlen entsprechen daher 
zwei wesentlich verschiedenen Curven (§ 85.), der Curve vierter 
Ordnung erster Art mit Spitze und der Curve vierter Ordnung 
-zweiter Art.