448 II. Curven und Flächen: D) Die Rotationsflächen. 118. 
seine Punkte als seine Tangenten; insbesondere, wenn die erzeu 
gende Curve eine Schraubenlinie ist, deren Axe zur Eotationsaxe 
parallel ist. 
Man erhält für einen Punkt P der erzeugenden Curve mit der 
Tangente t die Spitze M des zugehörigen Parallelkreisberührungs 
kegels als Schnitt der Axe a mit einer durch i gehenden Ebene, 
die die Gerade PM zur Falllinie hat, d. h. deren erste Spur die 
vom ersten Durchstosspunkt von t ausgehende Normale zu P a ist. 
2) Man construiere die Umriss-Hyperbel des einfachen Rota 
tionshyperboloids durch Punkte und Tangenten aus der geraden 
Erzeugenden g und der zu 0 X parallelen Axe a. 
3) In welchen Fällen hat eine Rotationsfläche keinen Umriss 
in der ersten Projection und in welchen Fällen ist nur ein Kehlkreis 
vorhanden? 
4) Die Zahl der Punkte Au der Fläche, welche einer gegebenen 
ersten Projection A { ' entsprechen, hängt von der Gestalt des Meri 
dians derselben ab. 
5) Zu einer zweiten Projection By" giebt es im Allgemeinen 
zwei Punkte B u und B n der Fläche. In welchen Fällen können 
vier oder mehrere solcher Punkte gefunden werden. 
6) Man erläutere die Punkte der Umrisse als Ausnahmen von 
dieser Regel. 
118. Die Dar stell ung der Tangentialebene T in 
einem Punkte Ä der Rotationsfläche wird durch die 
Construction der Tangente t p des zugehörigen Parallelkreises 
P derselben und die der Tangente i m des zugehörigen Meridians 
M — als zweier in ihr liegender und sich rechtwinklig schnei 
dender Geraden — zweckmässig geleistet (Fig. 209). Für die zu 
OZ parallele Lage der Axe a und unter der Voraussetzung, dass 
der zur Ebene XOZ parallele Meridian M. X2 oder der zweite 
Umriss verzeichnet sei*), ergiebt sich t p in der ersten Pro 
jection als die Tangente von der des Parallelkreises in A', 
d. h. als Normale zu uÄ in A' und i m ' als Radius a Ä; da 
gegen erscheint t p in der zweiten Projection als die zu OX 
parallele Gerade durch A" und tm' wird erhalten, indem man 
Ä' mit dem Punkte 0 von a" verbindet, wo diese geschnitten 
wird von derjenigen Tangente des Umrissmeridians 
deren Berührungspunkt auf dem Parallelkreis von A" liegt. 
Man sieht daraus, dass die erste Spur der Tangential- 
*) Diese Voraussetzungen sollen im Folgenden überall gelten, wo 
nicht andere ausdrücklich erwähnt sind.