Die Rotationsflächen und die gerade Linie. 123. 467 
Basen und Pj* sind eingetragen und liefern in (1) und (1*) auf 
(P) respective (P*) Punkte der Umrisslinie in der Hilfsprojection. 
Die beiden andern in denselben Ebenen gelegenen Parallelkreise 
geben in gleicherweise die Punkte (2), (2*). Fällt man dann von 
diesen Punkten die Normalen zu d und trägt von ihren Pusspunkten 
aus auf diese die Längen von (i) respective (¿*) ab, so erhält man 
die Punkte 1, 1; 2, 2; 1*, 1*; 2*, 2* der Umrisslinie selbst. 
Die entsprechenden Tangenten erhält man als die Spuren der be 
treffenden Tangentialebenen, z. B. die in 1* als nach dem Durch 
schnittspunkt von d mit (S*) (T*) gehend. (Fig. 217.) 
Die Punkte des Umrisses in der Axe d erhält man durch die 
zu d normalen Tangenten des Meridians (M); dem Aequator der 
Fläche entsprechen die Punkte des Umrisses, deren Tangenten zu 
d parallel sind. Für die Bestimmung der Eückkehrpunkte und ihrer 
Tangenten, sowie für die der Doppelpunkte vergleiche man § 121.; 
10. respective § 82. 
123. Eine Gerade^ hat mit d er .Rotationsfläche 
Punkte respective Tangentialebenen gemein. Jede 
durch dieselbe gelegte Ebene schneidet die Fläche in einer 
Cürve, welche mit der Geraden die fraglichen Punkte be 
stimmt ; die Schnittcurve in einer derselben genügt somit zur 
Bestimmung der Punkte. Im Allgemeinen wird eine proji- 
cierende Ebene der Geraden am bequemsten zu benutzen sein. 
Schneidet die Gerade die Axe a der Rotationsfläche; so be 
nutzt man den durch sie gehenden Meridian; ist ihre Richtung 
in der Stellung der Normalebenen zur Axe a enthalten, so 
ist der durch sie mögliche Parallelkreis am vortheilhaftesten. 
Denkt man die Gerade g um die Axe a gedreht, so erzeugt 
sie im Allgemeinen ein einfaches Rotationshyperboloid, 
welches die gegebene Rotationsfläche in einer Anzahl von 
Parallelkreisen schneidet, die man natürlich aus den gemein 
samen Punkten der in derselben Ebene gelegenen Meridiane 
der Flächen bestimmt. Die Schnittpunkte von g mit der ge 
gebenen Rotationsfläche sind die Punkte, welche g mit diesen 
Parallelkreisen gemein hat. 
Andererseits bestimmt jeder Punkt auf der Geraden g 
mit der Rotationsfläche einen Berührungskegel, welcher mit 
g diejenigen Tangentialebenen gemein hat, die der Aufgabe ent 
sprechen. Der zu g parallele Berührungscylinder kann zur 
Construction derselben dienen. Schneidet die Gerade g die 
Axe a, so benutzt man den Parallelkreisberührungskegel, der