504 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 134. 
zu drei gegebenen Elementen A, B, C des Gebildes 
zu jedem Element desselben muss gelangen können 
und gründen darauf die Erklärung der Projectivität solcher 
Gebilde. Versuchsweise angenommen, es existiere ein Segment 
in der Reihe A, B, C von den äussersten Grenzen U und V 
und zwischen B und C, in welches hinein durch solche Con- 
structionen von A, B, C aus nicht zu gelangen wäre, so be 
stimme man Punkte W und X, sodass A W harmonisch zu U V 
und AV harmonisch zu TJX\ ebenso AW harmonisch zu B Y, 
dann wird Y zwischen V und X dem V so nahe gerückt wer 
den können als möglich. Liegt nun C auf dem Segment XY, 
so werde Z so bestimmt, dass AZ zu BX harmonisch ist, und 
D so, dass AD harmonisch zu BC] dann muss nach der Har 
monie der zweiten und dritten Gruppe Z zwischen W und V 
und nach der der dritten und vierten D zwischen W und Z 
also auch zwischen U und F liegen. Wenn die Punkte ü und 
F dem System der durch harmonische Gruppen erreichbaren 
Punkte selbst angehören, so kann man B und C in sie ver 
legen und erhält damit eine Vereinfachung. 
Wir können nun projectivische Gebilde erster Stufe 
als solche definieren, von denen das eine durch eine end 
liche Reihe von Schnitt- und Schein-Bildungen aus 
dem andern abgeleitet werden kann, oder was nach 
§ 133. dasselbe ist, wenn die Uebereinstimmung des Sinnes 
vorausgesetzt wird (§ 17., 2.), die die erste Erklärung an 
schaulich ausspricht, als solche Gebilde erster Stufe, in 
denen jeder harmonischen Gruppe des einen eine 
harmonische Gruppe des andern entspricht. 
Es ergiebt sich sofort aus dem einen, dass projectivi 
sche Gebilde derselben Art völlig identisch sind, 
wenn sie drei Elementenpaare entsprechend gemein 
haben und diess stimmt zu dem Andern, dass drei Ele 
mente durch ihre Aufeinanderfolge den Sinn inner 
halb des Gebildes bestimmen, zu welchem sie ge 
hören; also auch, dass in einander liegende projectivische 
Gebilde erster Stufe nicht mehr als zwei Paare von Elementen 
entsprechend gemein haben können, wenn sie nicht identisch 
sind. Für ungleichartige projectivische Gebilde 
erster Stufe ergiebt sich, dass das eine ein Schnitt oder