Imaginäre Elemente: Punkt, Ebene, Gerade I. 135. 511 
stimmten! Sinn. In jedem Falle bestimmt dieselbe Involution 
mit dem entgegengesetzten Sinn das conjugiert imaginäre Ele 
ment zu dem vorigen, so dass jedes dieser imaginären Elemente 
nur einen reellen Träger hat, der dem conjugiert imaginären 
ebenso angehört. 
Es ist offenbar, dass die V ereinigung von zwei con 
jugiert imaginären Elementen ein reelles Element 
liefert, dem Uebergang der elliptischen Involution in die 
parabolische entsprechend, in welcher allen Elementen des 
Gebildes ein festes Element entspricht, das zugleich die Ver 
einigung der Doppelelemente repräsentiert. 
Denken wir im allgemeinen Falle die die Involution be 
stimmenden Gruppen [XYX i Y 1 ) stets zu einer bestimmten 
ein für allemal gegebenen Gruppe projectivisch und lassen wir 
das Element X fest sein, oder wie man sagt, die Darstellung 
von einem festen Elemente ausgehen, so giebt die willkürliche 
Wahl der Elemente T und X, unter den reellen von X ver 
schiedenen Elementen des Gebildes alle innerhalb desselben 
möglichen Involutionen und damit die Darstellung aller dem 
selben angehörenden imaginären Elementenpaare; diese ist 
somit die Zahl der Combinationen zu zweien unter den (u — 1) 
von X verschiedenen Elementen des Gebildes, d. h. es giebt 
in einem Elementargebilde erster Stufe [u — 1) [u — 2) oder 
{ii* — du -j- 2) imaginäre und somit überhaupt (u 2 — 2n -f- 2) 
Elemente. Es liegen in jeder reellen Geraden zweifach un 
endlich viele nicht reelle Punkte, durch jede reelle Gerade 
gehen zweifach unendlich viele imaginäre Ebenen und in jeder 
reellen Ebene gehen durch einen reellen Punkt zweifach, un 
endlich viele imaginäre Gerade*). 
Man sagt, dass zwei involutorische Gebilde ungleicher Art 
perspectivisch liegen, wenn beide in einerlei Sinn durchlaufen 
werden und wenn die Paare der einen durch Paare der andern 
gehen oder in solchen liegen; da dann auch die Doppelemente 
*) Darum bedarf man zur Darstellung der complexen Zahlen 
der Zahlreihe durch reelle Punkte das ganze Feld der Ebene. Der 
Ueberschuss von (u — 1) reellen Punkten wird durch die der stereogra 
phischen Projection der Kugel (§ 99., 13.) entsprechende Festsetzung aus 
geglichen, dass die Ebene nur einen unendlich entfernten Punkt enthalte, 
d. h. man benutzt im.Grunde genommen das sphärische Feld.