Die Verbindungen der imaginären Elemente. 136. 
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Wenn man die beiden imaginären Punkte oder Ebenen 
durch ihre conjugierten ersetzt oder was dasselbe ist, wenn 
man den Sinn der sie bestimmenden Involutionen und damit 
den Sinn der involutorischen Regelschaar l in den entgegen 
gesetzten vertauscht, so wird dadurch die conjugierte Gerade 
der ersten definirt. Alle Geraden t in den Ebenen des Raumes 
und alle Geraden CT aus den verschiedenen Punkten des Raumes, 
welche die erste Gerade liefert, gehören auch der conjugierten 
an, nur mit Umkehrung des Sinnes ihrer Involutionen; oder 
jede reelle Gerade, welche eine imaginäre Gerade zweiter Art 
schneidet, trifft auch ihre conjugierte. Die gemeinschaft 
lichen Transversalen von vier reellen Geraden sind 
also, falls sie nicht reell sind, zwei conj ugiert ima 
ginäre Gerade zweiter Art. 
Wenn wir eine imaginäre Gerade zweiter Art und eine 
imaginäre Ebene oder einen imaginären Punkt zugleich vor 
stellen, so können sie nur einen Punkt respective eine Ebene 
— natürlich imaginär — gemein haben; legt man durch jene 
im ersten Falle zwei imaginäre Ebenen, deren reelle Träger 
den reellen Träger der imaginären Ebene schneiden — also 
aus zwei willkürlichen Punkten derselben — so schneiden die 
ersteren die letztere in imaginären Geraden erster Art in der 
selben Ebene und diese schneiden sich in einem Punkte. 
Und alle die fundamentalen Sätze über die Be 
ziehungen zwischen den drei Elementarformen; Punkt, 
gerade Linie und Ebene behalten auch für die nun ent 
deckten nicht reellen Punkte, Geraden und Ebenen 
ihre Gültigkeit. 
Da unsere Entwickelungen über die Grundlagen der Pro- 
jcctivitätstheorie nur diese fundamentalen Sätze benutzten, so 
kann eine genauere Untersuchung derselben nur zeigen, dass 
die Projectivität der Gebilde die proj ectivische Ein 
ordnung ihrer imaginären Elemente mit umfasst und 
dass sie auch durch solche Eie mente in gleicher Weise 
bestimmt wird. Zu einer solchen Durchführung ist hier nicht 
der Raum und es ist überdiess pädagogisch besser, sie als eine er 
gänzende Untersuchung der erstmaligen vollen Durchforschung 
des elementaren Theils der Geometrie der Lage anzuschliessen; 
denn diese liefert weiterhin wesentlich ergänzende Anschauungen.