520 HL Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 136. 
Nur die Zählung der Elemente der Gebilde, als auf 
deren übereinstimmenden Ergebnissen für Gebilde derselben 
Stufe die Möglichkeit ihrer projectivischen Correspondenz be 
ruht, soll hier in Kürze angeschlossen werden. 
Die Gründe des § 135. zeigen, dass ein Gebilde erster 
Stufe mit reellem Träger u reelle und {u—1) [u'—2) imaginäre 
Elemente also überhaupt (w 2 — 2w -f 2) Elemente hat und man 
sieht leicht, dass dieselbe Zahl auch für die Gebilde erster 
Stufe mit imaginärem Träger sich ergiebt. Wir wollen die 
Fälle der imaginären Geraden erster und zweiter Art erläutern 
und empfehlen die Anwendung derselben Principien auf die 
Strahlbüschel in imaginärer Ebene oder mit imaginärem Scheitel. 
Die imaginäre Gerade erster Art enthält als Reihe betrachtet, 
einen reellen Punkt und jede reelle Gerade in ihrer reellen 
Ebene schneidet sie in einem imaginären Punkt, wenn sie 
nicht durch jenen geht; da die Gesammtzahl der reellen Ge 
raden der Ebene (u 2 — u -f- 1) ist und davon u durch jenen 
Punkt gehen, so hat man (u~ — 2 u-\- 1) imaginäre Punkte ausser 
dem einen reellen Punkt. Ebenso ist die Zahl der .Ebenen durch 
eine imaginäre Gerade erster Art (u 2 -—2u-j- 2). Denken wir zur 
imaginären Geraden zweiter Art eine reelle Ebene, so enthält 
diese eine reelle Gerade, auf der ein Punkt derselben liegt, und 
durch jeden ihrer ausserhalb dieser Geraden gelegenen Punkte 
geht eine Gerade, die mit ihr in einer Ebene liegt, also gleich 
falls einen Punkt von ihr enthält; diess giebt (m 2 — 2—{— 1)-|- 1 
Punkte der Geraden. Die Zahl ihrer Ebenen ist die gleiche. 
Sodann enthalten Gebilde zweiter Stufe mit reellem • 
Träger (m 1 — 4 w 3 -(- 1 u 2 — 6 m -f- 3) Elemente, z. B. eine reelle 
Ebene (u 2 —u-\- 1) reelle Punkte und in jeder ihrer (u 2 — *¿+1) 
reellen Geraden (u 2 — Su -}- 2) imaginäre Punkte, d. h. in 
Allem (u 2 ■—■ u -f- 1) (u 2 — 2>u -f- 3) Punkte; die oben gegebene 
Zahl. Ebenso viele aber auch Gebilde zweiter Stufe mit ima 
ginärem Träger, z. B. das Punktesystem in einer imaginären 
Ebene; denn in ihrer reellen Geraden t liegen (u 2 _ 2 u -J- 2) 
Punkte und durch jeden ihrer Punkte gehen (u 2 — 2u -j- 1) 
Ebenen, die sie nicht enthalten und die mit der imaginären 
Ebene ebenso viele imaginäre Gerade bestimmen, deren jede 
ebenso viele imaginäre Punkte enthält; aber die obige Zahl ist 
(w 2 — 2w -f- 2 ) + (« 2 — 2« -f- l) 2 oder (iu— l) 2 -f-1.