526 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 139. 
Man hat in Fig. 236 a im Dreieck A l , A 2 , A 3 für P und 
Fig. 236 b im Dreiseit a l a 2 a 2 für p respective 
Fig. 23G. 
{A ■ AA^p) = {AAA p A 
(A-AA EP ) = iAAA PA 
( A 3 . A i A 2 EP') = {A X A 2 E 3 P 3 ). 
Sind dann e x , e 2 , e s die Ab 
stände des Punktes E und eben 
so p v p 2 , p 3 die des Punktes P 
von den Geraden A 2 A 3 , A 3 A V 
A a A 2 respective oder sind all 
gemeiner e 1; p t ; e 2 , p 2 ; e 3 , p 3 
die in gleichen Richtungen ge 
messenen Längen von E und P 
aus bis zu jenen Geraden, so 
haben die vorstehenden Dop 
pelverhältnisse die folgenden 
Werthe 
13 
, Pi 
P2 • 6 2 
x 2 
ß 2 
P-2 
Ps : 
: e 3 
x 3 
6 \ 
. Pi 
_Pz ■ 
; e 3 _ 
x 3 
e 3 
' Pi 
Pi : 
: e t 
x x 
6 2 
. P2 
Pi • ß \ 
x x 
e l 
' Pi 
P2 ' 
: e 2 
x 2 
(«i • « 2 «3 e P) = i/sA^l^i), 
(«2 • ö 3 ö i e P) = (^i^ 3 E 2 P 2 ), 
(«3 . a x a 2 ep) = {A 2 A 1 B 3 P 3 ). 
Sind dann fj, e 2 , s 3 die Ab 
stände des Strahls e und ebenso 
tc 1} tc 2 , tc 3 die des Strahls p 
von den Punkten a 2 a 3 , a 3 a l , 
a i a 2 oder A { , A 2 , A 3 respec 
tive oder sind allgemeiner £ 1? 
7t \‘i £ 2) ^2 5 £ 3? ^3 die in zwei 
bestimmten Richtungen ge 
messenen Längen von diesen 
Punkten bis zu e und p, so 
haben die vorstehenden Dop 
pelverhältnisse die Werthe 
£ 3 ' ? l ' 3 7r 2 ’ £ 2 ^2 
£ 2 TC 2 7Tg : £g |g 
£ 1 . n 3 • £ 3 I3 
£3 7Cg 
£ 2 . % ^ n \ '■ £ 1 = |l . 
£ 1 3^2 • ^2 §0 
Dass das Product derselben und somit der vorigen Grup 
pen von Doppelverhältnissen die Einheit ist, giebt Sätze über 
die Beziehung des Dreiecks der A t oder a { zu einem Punkte,