532 III. Geometrie der Lage: A) Grundlagen und Coordinaten. 140. 
(// 2 A 3 oo) -f- (^2 ^*1 A 3 °°) p~' 
' ^2^1 4~ ^3 ^2 ^3 ^*1 __ | 
Unter den für unsere trimetrischen Coordinaten gemachten 
Voraussetzungen ist also immer für einen Punkt P{x v x 2f x 3 ) 
und eine Gerade p(g 1} | 2 , £ 3 ), wenn jener in dieser liegt und 
nur dann 
— hk x 2 + A i ji :c i = i oder X x ^ x x + * 2 £ 2 x 2 + ¿3k^3 = 0 ; 
^3 53 ^3 
insbesondere aber für E und e als harmonisch getrennt durch 
das Dreiseit A X A 2 A 3 wegen —X 2 :X 3 =—1, etc. oder X x = X 2 = X 3 
£l 0C X + £ 2 ^2 + ^3 X 3 = °* 
1) Sind die '%i constante Grössen a X7 a 2 , « 3 , so ^ilt für die 
Coordinaten Xi aller Punkte der durch sie nach § 139, bestimmten 
Geraden die Gleichung 
<x x x x —j— a 2 x 2 —J— ü 3 x 3 = 0, 
die man als die Gleichung der Geraden (a 1? « 2 , a 3 ) in trime 
trischen Punkt-Coordinaten zu bezeichnen hat. Ihre Coefficienten 
sind die trimetrischen Linien-Coordinaten der Geraden. 
2) Sind die Xi constante Grössen « 1 , or 2 , ct 3 , so gilt für die 
Coordinaten aller Strahlen, welche den durch sie nach § 139. 
bestimmten Punkt enthalten, die Gleichung 
a l£l + «2^2 + a 3%3 = 
die Gleichung des Punktes in trimetrischen Linien-Coordinaten; 
ihre Coefficienten sind seine trimetrischen Punkt-Coordinaten. 
3) Einheitlinie e und Einheitpunkt E haben die Gleichungen 
a’i -f- ¿r 2 -(- ir 3 = 0, I] + £2 “f" £3 = 0. 
4) Jede Gerade durch den Eundamentalpunkt A x , etc. hat eine 
Gleichung von der Form (§ 138., 1.) 
a 2 x 2 -f- a 3 x 3 — 0 
Die Gleichung des Fundamentalpunktes A x ist = 0. 
5) Die Strahlen a 2 x 2 H - a s x s ~ 0 und a 2 x 2 — a 3 x 3 — 0 sind 
eonjugiert harmonisch zu den durch A x gehenden Fundamentallinien. 
Diess ist ein Specialfall eines allgemeinen Gesetzes. 
6) Die Gerade a x x x -j- a 2 x 2 -f- a 3 x 3 = 0 oder der Punkt 
a i£i + « 2 £2 + « 3 £ 3 ==0 wird bei gegebenen Fundamentalelementen 
A\i A 2 , A 3 , E, e oder unter Voraussetzung der harmonischen Tren 
nung von E und e durch das Fundamentaldreieck aus diesem und