Full text: Die darstellende Geometrie in organischer Verbindung mit der Geometrie der Lage

Projectivität der Elementargebilde erster Stufe. 151. 587 
bildes durch ein Element ausser den allen gemeinschaftlichen 
bestimmt wird. 
Und die geometrische Deutung des Parameters 
der Formen im Gebilde erster Stufe ist aus dem Eie 
rn entargebilde erster Stufe ihrer linearen Polaren 
für irgend ein Element, speciell aus dem für ein 
ihnen gemeinsames Element zu entnehmen; sie ist mit 
dieser zugleich erledigt. Ebenso in den Gebilden höherer 
Stufen. 
Es ist ebenso evident wie der Hauptsatz dieses §, dass 
diegleichnamigenPolarenderPunkteeinerReihe etc. 
in Bezug auf eine Curve oder Fläche ein Gebilde erster 
Stufe von Curven oder Flächen bilden; die der Punkte 
einer Ebene ein Gebilde zweiter Stufe, etc. 
1) Die Polarebenen eines festen Punktes in Bezug auf die 
Flächen eines Büschels von der zweiten Ordnung bilden ein Ebenen 
büschel von demselben Parameter; für jeden zweiten festen Punkt 
ein zu jenem projectivisches Büschel. In Folge dessen erfüllen die 
Polarlinien einer Geraden in Bezug auf die Flächen eines Büschels 
zweiter Ordnung ein einfaches Hyperboloid und die Pole einer festen 
Ebene — aus zwei festen sich schneidenden Geraden — eine 
Eaumcurve dritter Ordnung, den Schnitt von zwei Hyperboloiden 
mit einer dem Schnittpunkt entsprechenden gemeinsamen Geraden, 
welche durch die vier Punkte von einerlei Polarebene in (§ 149., 10) 
geht. (Yergl. § 100.) 
2) Die Pole einer festen Ebene in Bezug auf die Flächen einer 
Schaar von der zweiten Classe bilden eine gerade Punktreihe von 
demselben Parameter. Die Polarlinien einer festen Geraden erfüllen 
daher ein einfaches Hyperboloid und die Polarebenen eines Punktes 
sind die gemeinsamen Tangentialebenen von zwei solchen Hyper 
boloiden, die eine gerade Linie gemein haben, d. h. sie bilden eine 
developpable Fläche dritter Classe, welche auch die vier Ebenen 
von einerlei Pol in allen Flächen der Schaar berührt. (Yergl. § 101.) 
3) Die ersten Polarcurven der Punkte einer Geraden in Bezug 
auf eine Curve ?< ter Ordnung bilden ein Curvenbüschel von der Ord 
nung (n — 1). 
151. Wir kehren zu den Elementargebilden erster 
Stufe zurück, um die analytische Ausdrucksform der 
Projectivität solcher Gebilde zu untersuchen. Wir 
denken vier Elemente Yj, Y 2 , Y 3 , X 4 eines solchen Gebildes 
durch die Parameter lj, A 2 , A 3 , 1 4 oder n x : m 1 , . . . in Bezug 
auf zwei willkürlich gewählte feste Elemente Y, Z desselben
	        
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