Projectivität der Elementargebilde erster Stufe. 151. 587
bildes durch ein Element ausser den allen gemeinschaftlichen
bestimmt wird.
Und die geometrische Deutung des Parameters
der Formen im Gebilde erster Stufe ist aus dem Eie
rn entargebilde erster Stufe ihrer linearen Polaren
für irgend ein Element, speciell aus dem für ein
ihnen gemeinsames Element zu entnehmen; sie ist mit
dieser zugleich erledigt. Ebenso in den Gebilden höherer
Stufen.
Es ist ebenso evident wie der Hauptsatz dieses §, dass
diegleichnamigenPolarenderPunkteeinerReihe etc.
in Bezug auf eine Curve oder Fläche ein Gebilde erster
Stufe von Curven oder Flächen bilden; die der Punkte
einer Ebene ein Gebilde zweiter Stufe, etc.
1) Die Polarebenen eines festen Punktes in Bezug auf die
Flächen eines Büschels von der zweiten Ordnung bilden ein Ebenen
büschel von demselben Parameter; für jeden zweiten festen Punkt
ein zu jenem projectivisches Büschel. In Folge dessen erfüllen die
Polarlinien einer Geraden in Bezug auf die Flächen eines Büschels
zweiter Ordnung ein einfaches Hyperboloid und die Pole einer festen
Ebene — aus zwei festen sich schneidenden Geraden — eine
Eaumcurve dritter Ordnung, den Schnitt von zwei Hyperboloiden
mit einer dem Schnittpunkt entsprechenden gemeinsamen Geraden,
welche durch die vier Punkte von einerlei Polarebene in (§ 149., 10)
geht. (Yergl. § 100.)
2) Die Pole einer festen Ebene in Bezug auf die Flächen einer
Schaar von der zweiten Classe bilden eine gerade Punktreihe von
demselben Parameter. Die Polarlinien einer festen Geraden erfüllen
daher ein einfaches Hyperboloid und die Polarebenen eines Punktes
sind die gemeinsamen Tangentialebenen von zwei solchen Hyper
boloiden, die eine gerade Linie gemein haben, d. h. sie bilden eine
developpable Fläche dritter Classe, welche auch die vier Ebenen
von einerlei Pol in allen Flächen der Schaar berührt. (Yergl. § 101.)
3) Die ersten Polarcurven der Punkte einer Geraden in Bezug
auf eine Curve ?< ter Ordnung bilden ein Curvenbüschel von der Ord
nung (n — 1).
151. Wir kehren zu den Elementargebilden erster
Stufe zurück, um die analytische Ausdrucksform der
Projectivität solcher Gebilde zu untersuchen. Wir
denken vier Elemente Yj, Y 2 , Y 3 , X 4 eines solchen Gebildes
durch die Parameter lj, A 2 , A 3 , 1 4 oder n x : m 1 , . . . in Bezug
auf zwei willkürlich gewählte feste Elemente Y, Z desselben