644 ITT. Geometrie der Lage: C) Gebilde zweiter und dritter Stufe. 159. 
Wir werden diese Erzeugnisse in der Reihenfolge untersuchen, 
in welcher ihre gegenseitige Verbindung am besten her 
vortritt. Es ist ersichtlich, dass die Erzeugnisse aus ein 
fach unendlich vielen Elementen unter sich und mit 
Elementargebilden erster Stufe sowie mit den Er 
zeugnissen derselben projectivisch gemacht und zu 
neuen Erzeugnissen verbunden werden können; ebenso 
die Erzeugnisse aus zweifach unendlich vielen Ele 
menten mit den Elementargebilden zweiter Stufe 
und unter sich. Aber wir haben nicht Raum, diese Ver 
bindungen systematisch zu untersuchen. 
Wir beginnen mit den ineinanderliegenden colli- 
nearen Ebenen oder Bündeln, d. i. mit der Untersuchung 
ihrer sich selbst ent sp rechend en E 1 eine nt e. Weil vier 
Paare entsprechender Elemente A 2 , A 2 \ A 3 , A 3 • E, E' 
— wir wollen z. B. annehmen Punkte, von denen keine drei 
in einem Gebilde erster Stufe liegen, die Gebilde bestimmen, 
so kann die Zahl der sich selbst entsprechenden Punkte und 
ebenso Geraden nicht drei übersteigen, weil sonst die Gebilde 
nicht bloss in einer Ebene oder am nämlichen Scheitel liegen, 
sondern identisch sein würden. Wenn wir annehraen, dass 
rn Punkte und n Strahlen der ineinanderliegenden Ebenen sich 
selbst entsprechen, so folgt aus der Natur der Collineation, 
dass die letztem die geraden Verbindungslinien der erstem 
und die erstem die Durchschnittspunkte der letzteren sein 
müssen; man muss also ebensowohl haben 
2 rn — n (rx — 1) als auch 2 n — m {rn — 1); 
somit *) 
m : n — (n — 1) : 2 — 2 : (m — 1), und rn = n — 3. 
Aber wir construieren die fraglichen Elemente. Man hat 
in der Ebene als die Erzeugnisse der projectivischen Strahl 
büschel 
Das Analoge gilt auch im Gebilde dritter Stufe; aus 
2 . 3 m — n (n — 1) [n — 2), 2.3.« = m (rn — 1) [rn — 2)