658 III. Geometrie der Lage: C) Gebilde zweiter und dritter Stufe. 161.
Weise möglich ist, wobei im einen Falle die entstehende In
volution reelle und im andern Falle nicht reelle Doppelstrahlen
hat. Man hat durch diese Operation (vergl. p. 646.) bewirkt,
dass den bei Verschiebungen und Drehungen der Ebene un
verändert bleibenden Kreispunkten im Unendlichen je eine und
dieselbe Gerade im ersten und im zweiten System entspricht;
damit aber ist das involutorische Entsprechen aller andern Rich
tungen der Ebene mit den durch den Punkt M gehenden ent
sprechenden Strahlen bedingt. Pol- und Polarkegelschnitt fallen
nun in den Directrixkegels chnitt zusammen, der denPunkt
M zum Mittelpunkt hat; die verkehrt vereinigten Rechtwinkel
strahlen bilden die Axen, die erwähnten Doppelstrahlen der
Involution die Asymptoten desselben; die Involution selbst ist
mit der Involution seiner conjugierten Durchmesser identisch.
Man kann in Folge dessen die Benennungen des speciellen
Falles der Polarreciprocität mit Recht auf den allgemeinen
Fall übertragen. Man wird M, M' die Mittelpunkte der
beiden reciproken Systeme, die Strahlbüschel aus ihnen
die Durchmesserbüschel derselben nennen, wird dem
Büschel nach den Richtungen der Ebene im einen System die
entsprechenden Durchmesser im andern conj ugiert sein lassen
und von den entsprechenden Rechtwinkelpaaren der beiden als
von den Axen der Systeme reden.
Die bezeichneten Lagenveränderungen haben bewirkt, dass
das von den Axen und der unendlich fernen Geraden gebildete
Dreieck sich selbst entspricht, dass seinen Ecken die Gegen
seiten in beiderlei Sinn oder involutorisch zugeordnet sind;
es ist zum Polardreieck gemacht worden. In der That
ist an die Existenz eines solchen Dreiecks das in
volutorische Entsprechen aller Elementenpaare und
die Existenz unendlich vieler solcher Dreiecke ge
knüpft. Denn denken wir das vorausgesetzte Dreieck als
fundamental, so muss die allgemeine lineare Substitution
Q L* j «¿2 3?2 H" «¿3^3
so specialisiert sein, dass die Punkte und Seiten
x 2 = ¿r 3 — 0, x% = x { = 0, x x — x 2 — 0;
U = U = o, v = s/ = o, i; = i; = o
einander respective entsprechen, d. h. man hat
“21 = «31 = 0; «32 — «12 = «13 = «23 = 0 oder a ik = a ki ,
