Das Doppelverhältniss. 16. 
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(d. h. stets reell, so lange Ar 2 positiv ist und reell für AB 2 > 4Ar 
bei negativem Zeichen), ein leicht zu construierender Ausdruck. 
Das System der gleichen entsprechenden Strecken 
enthält also immer zwei gleiche Strecken von gegebener 
Länge. Man construire sie für AB = A'B' — 2d. Insbesondere 
wird AB=oo für Q'A'= 0 oder = oo; in der That ist Q R — QR=oo. 
2) Man erhält ferner AB — ÄB' — 0 für 
Q'A' = BR = k = ¡/SQ'.RS] 
es giebt zwei Punktepaare G, H in g und G', H' in g (Fig. 23), 
welche die entsprechenden Nullstrecken genannt werden sol 
len. Sie müssen dem ersten System der entsprechend gleichen Strecken 
heigezäblt werden, die die Gegenpunkte nicht einschliessen. 
3) Sind die Gegenpunkte unendlich fern, d. h. Bild und Ori 
ginal der Geraden einander parallel, so existieren gleiche ent 
sprechende Strecken entweder gar nicht oder alle entsprechenden 
Strecken sind gleich. Die Reihen sind ähnlich und bei gleichem 
Abstand vom Centrum congruent. 
4) Man trage die Punkte P auf, für welche SP = SP' ist — 
durch Q P’ = SR. 
5) Da die Grösse k 2 nur von den Seitenlängen, nicht aber 
von den Winkeln des Parallelogramms &RSQ' abhängt, so folgt 
der Satz: Wenn zwei Gerade perspectivisch sind, so bleiben sie 
diess auch bei einer Drehung der einen von ihnen um den ge 
meinschaftlichen Punkt. Das Centrum 6 der Perspective ist immer 
die vierte Ecke des durch die Gegenpunkte R\ Q mit S bestimmten 
Parallelogramms; bleibt also S fest, so durchläuft (5 den aus Q' 
mit dem Halbmesser f)'(S beschriebenen Kreis. Jeder Punkt in ihm 
hat den Character und erlaubt die Verwendung eines Th eilungs- 
punktes. (§ 4; Text und 3. § 12; 7. Fig. 19.) Der Distanzkreis 
ist der Ort der Theilungspunkte für die zur Tafel normalen Ge 
raden. 
6) Für eine projicierende Gerade ist R (£ = 0 also Ar 2 — 0 
und ÄB' stets gleich Null, d. h. das Bild der Geraden ist ein 
Punkt. 
unter- 
16. Gehen wir zur Betrachtung von zwei Paaren 
von Punkten A, B und C, B der Geraden g und ihrer 
Bilder Ä, B’ und C', B' in g über, so ergeben sich die Re 
lationen der Abstände der Punkte des ersten Paares von denen 
des zweiten (Fig. 24)