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Gebilde u x , u" Gerade, so sehneiden sieh diese in dem
Collineationscentrum C der beiden Systeme Z { und Z". Die
beiden Gegenaxen i x und i", welehe der Collincationsaxe c,
parallel sind, gehen bekanntlich durch die Gegenpunkte Q x
und R" der geraden Gebilde u x und u". Dem unendlich
grossen Kreis in Z' r entspricht auch die Gerade i x in Z v
Machen wir auf der Geraden Q X C, welche der Geraden ?/,
parallel ist, Q X T = Q { C, so ist F das Collineationscentrum
der beiden Systeme Z x und Z", wenn wir uns Z" um c t
gedreht denken, so dass z. B. der Punkt rj" auf ?; 0 " fällt.
Jetzt können wir das involutorische gerade Gebilde,
welches eine Gerade G, mit den Kegelschnitten des Systems
Z x erzeugt,. leicht construiren. Wir bestimmen die ent
sprechende Gerade G". Die Schnittpunkte, welche G" mit
den Kreisen des Systems Z" bildet, liefern von C aus auf
G j projicirt das genannte involutorische gerade Gebilde G v
Die Schnittpunkte, welche der zu diesem Gebilde G x per-
spectivisch liegende Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt
der Mittelpunkt der betreffenden centrischen Fläche zweiter
Ordnung ist, mit dieser Fläche bildet, sind Isophotenpunkte
derselben. In unserer Figur ist ausser G x noch auf einer
Geraden 0 X das betreffende gerade Gebilde construirt. Mehre
ren solchen parallelen Geraden entspricht in Z" ein Strahlen
büschel, dessen Mittelpunkt t” auf i" liegt. Die geraden
Gebilde auf G lf <P x . . kann man auch mittelst des zweiten
Collineationscentrums F construiren. Man erhält z. B. auf
G x auch das gerade Gebilde, wenn man die Gerade G 0 " so
zieht, dass G und G (> " zu c, symmetrisch liegen, und dann
die Schnitte von G ( " mit Z" von F aus auf G, projicirt.
Dem Coordinatenanfang 0, zu Z x 'gehörig betrachtet ent
spricht 0". Ziehen wir von 0", so weit es möglich ist,
Tangenten an die Kreise Z", so entsprechen diesen Tangen
ten Gerade in Z x , welche durch gehen, und diese Gerade
sind dann auch Tangenten an den Grundrissprojectionen der
Isophoten, die den berührten Kreisen entsprechen. 1 )
1) Koutny hat in seinem Werkchen „Theorie der Beleuchtung krum
mer Flächen vom zweiten Grade“ (Brünn 1867) diesen Gegenstand rein
analytisch behandelt, und hat daher die von uns angegebene verhältniss-
mäs8ig einfache Construction der Isophoten dieser Flächen nicht gefunden.
