der frühere Reflexpunkt r der hellste Punkt sein wird 
und dass die Parallelkreise gleicher Lichtstärke von diesem 
aus genau mit derselben Grösse und Entfernung und 
Lichtstärke auftreten wie früher auf der vollen Kugel vom 
hellsten Punkt h aus. Weil nun die Licht- und Schatten 
kreise symmetrisch liegen, so heisst das einfach: ,,Die 
Linien gleicher Lichtstärke für die Darstellung der halben 
Hohlkugel sind die auf der Darstellung der konvexen 
Normalkugel punktiert gezeichneten Ellipsen und Ellipsen 
teile unter Umkehrung der Vorzeichen plus und minus in 
ihrer Benennung.“ 
Die erste Lichtdrucktafel bietet in der mittleren Figur, 
der oberen Reihe die konvexe Normalkugel mit ihren 
Lichtstufen als Aufrissbild, und zwar unter der Voraus 
setzung, dass ein Schlagschatten auf die Kugel falle, der 
ebenfalls alle sichtbaren Lichtstufenkreise umfasst. Es 
sind somit in dieser Darstellung alle Lichtstufen vereinigt 
mit Ausnahme von — o, dessen Fläche in Vorder- und . 
Oberansichten nie sichtbar Wird, indem, immer nur ein 
sehr schmaler Streifen von — 0,7 das Endglied der Licht 
stufenreihe im Reflex bilden kann. Nur Seitenprojektionen 
als Rechtsansichten und Grundrisse als Unteransichten 
können diese Lichtstufe mit sich bringen. 
Die hohle Halbkugel ist schattiert auf der zweiten 
Lichtdrucktafel, ,und zwär erscheint sie unter dem ge 
schweiften Gesims als Ausfüllung der Friesfläche. 
XII. Verwertung der Normalkugel zum Schattieren 
anderer Körper. 
.Die Normal kugel als Lichtstufenmassstab. 
Wenn im’ früheren gesagt wurde, die Normalkugel 
sei ein „Lichtstuferimassstab“, so soll das nicht nur 
ausdrücken, dass alle Lichtstufen auf ihr verwirklicht sind, 
sondern auch, dass mit ihrer Hilfe die Lichtstufen anderer 
Körper gemessen werden können Wie beim Anhalten 
des Längenmassstabes an eine Strecke ein Längenmass, 
so kann beim Anhalten der Normalkugel an einen Flächen 
punkt die Lichtstufe dieses Punktes abgelesen werden. 
Wenn etwa an eine Seitenfläche eines regelmässigen 
Dodekaeders oder an das Innere einer ellipsoidischen 
Schale eine als Raumform ausgeführte Kugel mit Licht 
stufenkreisen angelegt wird, so giebt der Berührungspunkt 
beider Körper die Lichtstufe der Seitenfläche oder des 
Punktes für eine Lichtrichtung, welche durch den Durch 
messer der Kugel von + o nach — o ausgedrückt ist. Es 
ist nur das Vorzeichen der Lichtstufe umzukehren, weil 
eigentlich die Hohlkugel angehalten wird. 
Die Verwertung dieser Thatsache für das Schattieren 
gezeichneter Körper mit Hilfe der gezeichneten 
Normalkugel geht von ihrer Begründung aus. Raum 
kugelpunkt und Raumflächenpunkt sind gleich hell, weil 
die Berührungsebenen der Kugel und der andern Fläche 
in diesem Punkt parallel sind. Ein durch die Zeich 
nung gegebener Flächenpunkt wird mit einem 
durch die Zeichnung gegebenen Normalkugel 
punkt gleich hell sein, wenn die Berührungs 
ebenen in beiden Punkten gleich gerichtet sind. 
Dies ist der Grundgedanke der Verwertung der Normal 
kugel zum Schattieren anderer Körper. 
Wenn die Frage gestellt ist: „Welche Lichtstufe hat 
ein gegebener Punkt einer Fläche?“ so ist in diesem Punkt 
eine Berührungsebene an die Fläche und an die Normal 
kugel eine parallele Berührungsebene zu legen'; der Be 
rührungspunkt dieser letzten hat dieselbe Lichtstufe wie 
der gegebene Punkt. 
Damit ist nun das Beleuchtungsproblem wohl für 
einen ebenbegrenzten Körper, bei welchem ein Punkt 
für die Beleuchtung seiner ganzen Ebene massgebend ist, 
noch nicht aber für gekrümmte Flächen gelöst. Was wäre 
•erreicht, wenn auf einer solchen Fläche noch so viele 
Punkte mit allerlei durch unganze Zahlen ausgedrückten 
Lichtstufen, z. B. + 3,25 + 0,62 — 2,85 u. s, w., gefunden 
wären? Offenbar könnte dajnit die Fläche noch nicht mit 
zusammenhängenden und sich abstufenden Maltönen oder 
Strichlagen schattiert werden. Fs bedarf vielmehr auf 
allen andern gekrümmten Flächen ähnlicher Lichtstufen 
linien für die Punkte mit ganzen Zahlen, wie sie auf 
der Kugel durch die 9 Parallelkreise dargestellt sind; erst 
mit der Bestimmung dieser Lichtstufen l i n i e n ist das Be 
leuchtungsproblem für eine Fläche gelöst, und mit Hilfe 
jener zufälligen Punkte wären die Linien nur durch eine 
unsichere Schätzung zu erhalten. Fs wird also für jede 
Flächengattung eines bestimmten Verfahrens bedürfen, 
auf geeigneten Linien der Fläche die Punkte mit ganz 
zahligen Beleuchtungsstufen aufzuflnden. Wenn hie- 
nach eine Gruppe zusammengehöriger ganzzahliger Licht- 
stpfenpunkte, z. B. + 3, auf der Fläche vorhanden ist und 
diese Punkte durch eine -stetige Kurve zusammengefasst 
werden, so bildet diese eine „Linie gleicher Helle“ oder 
„Lichtstufenlinie“' + 3, wie sie auf der Kugel durch den 
Parallelkreis 4- 3 dargeboten ist, und nach Beschaffung 
aller solcher Kurven wird die Fläche in ähnlicher Weise 
durch sie gegliedert wie die Normalkugel durch die 9 Par 
allelkreise. Bei den andern Flächen erscheinen jedoch 
diese Linien meist nicht mehr so einfach, sondern zu 
weilen mit barocken Windungen und sogar plötzlichen 
Richtungsänderungen auch bei stetigen Umrissen der Kör 
per. Man nennt diese Linien anderwärts auch „Hellen 
linien“ oder mit gelehrterem Ausdruck „Isophoten“; hier 
soll der Ausdruck „Lichtstufenlinien“ ausschliesslich ge 
braucht werden. 
Im folgenden ist zunächst die Verwertung der Normal 
kugel für eben begrenzte Körper, dann die Bestimmung der 
Lichtstufenlinien auf allen der praktischen Verwendung 
näherliegenden gekrümmten Flächen gezeigt und zum 
Schluss das Beleuchtungsproblem allgemein, für alle Arten 
von Flächen behandelt. Doch bedarf es zuvor noch einer 
nicht unwichtigen Betrachtung. 
Lichtstufen am Aeussern und im Innern hohl- 1)0. 
gedachter Körper. 
Zu der Berührungsebene in einem bestimmten Punkt 
einer gekrümmten Fläche lassen sich immer zwei par 
allele Berührungsebenen an die Normalkugel legen. Man