Kapitel XII. Artikel 112, 113. 
Lichtstrahlen als die auch zu diesen Tangenten gehörigen 
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Seitenprojektionen, so bilden die Tangenten eine Cylinder- 
fläche, deren Spur oder Basis in der Vertikalebene oder 
einer beliebigen zu dieser parallelen Ebene a b durch Auf 
suchen der Spuren ihrer Mantellinien bestimmt werden 
Figur 112 d. 
kann, und für welche jene Kurve xyz die Berührungs 
linie mit der Röhrenfläche darstellt. Wo auf dieser Linie 
die ganzzahligen Lichtstufenpunkte für die Cylinderfläche 
liegen, da liegen sie auch für die Röhrenfläche. Auf der 
Cylinderfläche sind die Lichtstufenlinien nach Art. 100 
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erhältlich; was dort für die horizontale Basis erklärt wurde, 
ist auf die in der Vertikalebene liegende leicht übertrag 
bar. Durch weitere Gruppen paralleler Tangenten an dem 
schon früher für die Schlagschattenkonstruktion erhaltenen 
Schnittkurvensystem lassen sich genügend viele weitere 
Lichtstufenpunkte erhalten. 
Figur 112 b macht ausser den Mantellinien der Be- 
riihrungscylinderfläche die Konstruktion ihrer Basislinie 
oder Spur u v w auf einer zur Vertikalebene parallelen 
Ebene a b anschaulich. In etwas veränderter Ausführung 
der in Art. 100 erklärten Konstruktion ist die vertikal 
projizierende Ebene der Cylindermantellinie wp in die 
Vertikalebene umgeklappt, indem p o = mn aufgetragen 
ist. wo ist die Umklappung der Mantellinie; die Ebene 
des Normalkugelgrosskreises, auf welchem die Lichtstufen 
punkte der Cylinderfläche zu suchen sind, steht senkrecht 
zu der Mantellinie und projiziert sich auf die limzuklap- 
pende Ebene als eine Gerade o r senkrecht zu w o. Ist 0 r 
gleich dem Normalkugelradius, so ist o s (die rechtwinklige . 
Projektion von 0 r auf 0 q parallel wp) die kleine Halb 
achse der Ellipse, als welche sich jener Grosskreis im 
Aufriss der Normalkugel darstellt. Ihre grosse Achse x‘ y', 
als der zur Vertikalebene parallele Durchmesser des Gross 
kreises, ist senkrecht zur Aufrissrichtung 7vp der Mantel 
linien. 
Durch die Schnittpunkte der Berührungsellipse mit 
den Lichtstufenellipsen + 2 + 3+4 und — 3 sind die 
Radien, dann an die Basiskurve 11 v w Tangenten senk 
recht zu diesen Radien gezogen. Die Berührungspunkte 
dieser letzten waren zu benützen wie beim ersten Beispiel, 
wofür die Mantellinien zu den Lichtstufenpunkten auf der 
Kurve xy z punktiert eingezeichnet sind. 
Bemerkungen zu den besonderen und allge-113. 
meinen Verfahren. 
Die beiden beschriebenen Konstruktionen für Licht 
stufenlinien auf beliebig gekrümmten Flächen geben in 
ihrem Verhältnis zu den früheren Lösungen und für sich 
allein betrachtet noch zu folgenden Bemerkungen Anlass. 
a) Die früher erklärten Lichtstufenbestimmungen für 
gerade Kreiskegel und Cylinderflächen, Drehungsflächen 
u. s. f. erweisen sich, wie zu vermuten war, als verein 
fachte besondere Fälle des erstbeschriebenen allgemeinen 
Verfahrens, wenn dieses noch in einigen Richtungen er 
weitert gedacht wird. (Dabei ist nur abzusehen vom drei 
achsigen Ellipsoid, elliptischen Hyperboloid und recht 
winkligen Konoid, die auf dem Umweg über eine Drehungs 
fläche beziehungsweise Wendelfläche zu ihren Lichtstufen 
gelangt sind.) Die Vereinfachung liegt zum grössten Teil 
in der Gestalt des geometrischen Ortes, der fast immer 
ein Kugelkreis war und zugleich den Kugelkreis der all 
gemeinen Lösung ersetzte, also zwei Kurven derselben 
zugleich vertrat; zum andern Teil findet sie sich darin, 
dass von den Punkten des geometrischen Ortes meist nur 
ein einziger zu suchen war und dieser sich leichter ergab, 
als im allgemeinen Fall; zu einem dritten Teil erscheint 
sie in einem vereinfachten Ziehen der parallelen Tan 
genten.