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Kapitel XII. Artikel n>. 
Für alle Horizontalschnitte des geraden vertikalen 
Kreiskegels und Cylinders war derselbe horizon 
tale Kugelkreis der geometrische Ort, so dass nur ein 
solcher Schnitt nötig war; für die Drehungsflächen 
erschienen verschiedene Parallel kreise für verschiedene 
Parallelschnitte der Fläche; in beiden Fällen ersetzten sich 
die parallelen Tangenten der allgemeinen Lösung durch 
parallele Radien oder durch die Proportionalteilungen der 
geradlinigen Parallelkreisprojektionen, in denen ja doch 
immer das Gleichgerichtetsein der Tangenten vorgestellt 
wird. Bei schiefgerichteten geraden Kreiskegel- und 
Drehungsflächen liegt dieselbe Vereinfachung derjenigen 
Gestalt der allgemeinen Lösung vor, bei welcher schon 
die erste Schnittebenengruppe schiefgerichtet ist. 
Für die schiefen Cylinderflächen beliebigen 
Normalschnitts gilt dasselbe, wogegen schon die 
Kegelfläche mit beliebiger Basis die allgemeine 
Lösung nur mit ganz unwesentlicher Vereinfachung er 
fordert, indem nur die Mantellinien an die Stelle der ge 
neigten Kurventangenten der allgemeinen Lösung treten. 
Die Röhren flächen beider Arten bringen zwar 
wieder sehr einfache geometrische Orte auf der Kugel 
mit sich, erfordern jedoch andererseits eine erweiterte Auf 
fassung der allgemeinen Lösung, indem hier schon für die 
erste Schnittebenengruppe das Gleichgerichtetsein aufge 
geben ist. 
Bei den Rtickungsflächen erscheinen wieder die 
Parallelschnitte der allgemeinen Lösung. Ist die Erzeu 
gende unveränderlich, so sind die geometrischen Orte auf 
der Kugel Grosskreise verschiedener Richtung und die 
Lösung gestaltet sich einfach. Bei veränderlichen und 
drehenden Erzeugenden fallen die Vereinfachungen weg 
und die allgemeine Lösung tritt ganz oder nahezu unver 
ändert auf. 
Bei den Schraubenflächen sind die parallelen 
Schnittebenen durch konzentrische Schnittcylinder ersetzt, 
weil hiedurch abermals ein einfacher geometrischer Kugel 
ort erzielt wird; bei diesen Flächen ist also die allgemeine 
Lösung abermals in einer früher nicht ausgesprochenen 
Richtung erweitert aufzufassen. Das Gleicfmerichtetsein 
der Horizontaltangenten ist hier zwar vorhanden, aber 
nicht unmittelbar herbeigeführt, sondern auf dem Umweg 
einer Verdrehung um den Winkel zwischen Gefällslinie 
und Radius erzielt, so dass diese Lösung eine eigenartige 
Verbindung von Erweiterung und Vereinfachung des all- 
gemeinen Verfahrens darstellt. 
b) Auf den meisten gegebenen Flächen werden sich 
bestimmte Hauptlinien finden, für welche sich die 
Lichtstufenpunkte einfacher und mit grösserer Sicherheit 
bestimmen lassen, als nach den allgemeinen oder sonst 
anzuwendenden Verfahren. Schon bei der schrauben 
förmigen Wulstfläche war diese Thatsache festzustellen; 
ihre Lichtstufenpunkte auf der äussersten und innersten 
Schraubenlinie ergeben sich durch Betrachtung der zwei 
berührenden Vertikal cylinder unabhängig von der Kon 
struktion mit den Umhüllungskugeln. Auf demselben Weg 
können auf dem dreiachsigen Ellipsoid und elliptischen 
Hyperboloid die Lichtstufenpunkte auf denjenigen drei 
Schnittkurven, deren Ebenen je durch zwei Achsen gelegt 
i sind, unabhängig von der früher erklärten Konstruktion 
und mit grösserer Sicherheit erhalten werden. 
Bei dem für die allgemeinen Lösungen als erstes 
Beispiel gewählten exzentrischen Wulst ergeben sich leicht 
vier Hauptlinien, nämlich der zur Vertikalebene parallele 
äussere Umrisskreis der gleichgerichtete innere Umriss 
kreis c und die beiden Schnittkreise in der Ebene sbc. 
Die beiden ersten liefern sichere Endpunkte und Be 
rührungspunkte der Lichtstufenlinien da, wo Kreiscylinder 
senkrecht zur Vertikalebene ihre Lichtstufenpunkte hätten, 
nur sind beim kleinen Kreis die Vorzeichen umzukehren. 
Die beiden letzten sind Berührungslinien von vertikalen 
Kreiscylindern mit der Fläche und zeigen also je eine 
Reihe von Lichtstufenpunkten proportional derjenigen auf 
dem horizontalen Durchmesser im Aufriss der Normal 
kugel. Bei der Volutenkonsole ist die vertikalstehende 
Achsenschnittkurve eine leicht zu verwertende Hauptlinie, 
ebenso die obere Umrisskurve. 
Der grössere Vorzug dieser Hauptlinien liegt in der 
grösseren Sicherheit, mit der ihre Punkte bestimmt 
werden können. Als Berührungslinien von Cylinderflächen 
mit den gegebenen Flächen sind sie nichts anderes als 
besondere Fälle der Berührungskurven, die in der zweiten 
allgemeinen Lösung auftreten. Es ist einleuchtend, dass 
für alle Umrisse, welche durch Auswölbung ge 
bildet sind, dasselbe gilt, wie für den exzentrischen 
Wulst; die Tangente im Endpunkt und Berührungspunkt 
einer beliebigen Lichtstufenlinie + 3 an der Umrisslinie 
irgend einer solchen Fläche muss parallel sein der Tan 
gente am gleichnamigen Punkt + 3 am Umriss der Nor 
malkugel. Dies gilt ausdrücklich auch dann, wenn die 
Umrisskurve im Raum, das heisst die Berührungslinie des 
von den Projektionsloten gebildeten Cylinders mit der 
Fläche, eine schief liegende oder gewundene ist. Diese 
Thatsache ist als für die meisten Flächen sehr wichtig 
hervorzuheben. Unter anderem können die Endpunkte 
der Lichtstufenlinien am Umriss des gewundenen Säulen 
schaftes (Figur 109 a) in dieser Weise genau bestimmt 
werden, ebenso im Aufriss der Wulströhre Figur 107c, 
endlich in den Figuren 106 b und md. 
c) Auf den meisten gegebenen Flächen werden sich 
gleich anfangs durch Ueberlegung oder Konstruktion be 
stimmte Linien feststellen lassen, welche von ganzzahligen 
Lichtstufenlinien nicht berührt oder durchschnitten werden 
können. Solche Scheidelinien der Lichtstufen 
gruppe, welche einen Einblick in deren Verlauf früh 
zeitig eröffnen, haben sich schon bei den Drehungsflächen 
in Art. 94, Satz c) und Art. 95, Satz d) als nur gedachte 
Parallelkreise und zugleich Lichtstufenlinien + 1,7 oder 
— 1,7 gefunden. Bei dem rechtwinkligen Konoid in 
Art. 110 und Figur 77 a und b sind die zwei horizontalen 
Fusslinien und die Scheitellinie solche Scheidelinien, und 
zwar geradlinige, während die übrigen Lichtstufenlinien 
gekrümmte sind, ebenso beim Kugelkonoid in Art. in die 
oberste und unterste Erzeugende. 
Für beide allgemeine Verfahren ist als wichtige That 
sache hervorzuheben, dass jede Schnittkurve der ersten 
oder zweiten Gruppe, oder jede einer Trajektorie ent 
sprechende Flächenkurve, oder endlich jede Berührungs-