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Kapitel V. Artikel 38. Kapitel VI. Artikel 39.
Figur 31 c zeigt eine solche Umklappung der Pro
jektion auf eine vertikale Lichtstrahlenebene in die hori
zontale Grundebene, wogegen in Figur 38a eine Wulst-
lläche in solcher Projektion als Vertikalprojektion ge
zeichnet, mit andern Worten, die Vertikalgrundebene par
allel zur Lichtrichtung angenommen ist.
Diese schrägstehenden vertikalen Projektionen oder
Umklappungen ersparen z. B. beim Schattieren von Kugel
flächen —’ wie später auszuführen sein wird — das Zeich
nen elliptischer Hilfslinien. In anderen Fällen gewähren
sie oft einen besseren Einblick in den Verlauf und das
Gesetz der Schattengrenzkurven, ins
besondere in die Lage höchster oder
tiefster oder anderer wichtiger Punkte,
oder sie liefern erwünschte Proben, oder
endlich sie führen zu einer schärferen
Bestimmung der Kurven, wo etwa die
anderen Projektionen durch spitzwinklige
Durchschnitte oder ungünstige Häufung
der Konstruktionslinien bemühen oder
versagen.
Bei Durchführung einer Schatten- !
konstruktion in einer solchen Projektion
auf die schrägstehende vertikale Ebene
eines Lichtstrahls ist zu beachten, dass
der Neigungswinkel der Lichtstrahl
projektion hier nicht ebenfalls gleich
45 0 ist, sondern gleich der wirklichen Neigung des Licht
strahls im Raum, welche erst aus den zwei ursprünglichen
Projektionen abzuleiten ist. JVlan erhält diesen Neigungs-
Figur 38 b.
winkel, indem man (Figur 38 b) auf einem durch den Grund
schnitt gezogenen Lichtstrahl einen Punkt X annimmt
und das horizontalprojizierende Dreieck des Lichtstrahls
c x X in die Horizontalebene umklappt. Hiebei beschreibt
der Raumpunkt X einen Viertelskreis und legt sich nach
x u , indem xx u = b x‘ wird; c x u ist die Umklappung des
Lichtstrahls und x c x u oder a ist der gesuchte Winkel,
den der Lichtstrahl als Raumlinie mit seiner Horizontal
projektion einschliesst. Er erweist sich als der kleinere
Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen vertikale
Kathete gleich einem beliebigen Mass a und dessen hori
zontale Kathete die Diagonale eines Quadrats über a oder
gleich a-Y 2 ist. Die Rechnung ergiebt a — 35 0 15?9 •
Im folgenden wird die Ableitung dieses
Winkels immer mit Figur 38 c erscheinen.
b) Was im vorhergehenden über die a
Benützung der Projektion auf die hori
zontalprojizierende (vertikalstehende)
Lichtstrahlenebene gesagt worden ist, Figur 38 c.
gilt auch von der vertikalprojizierenden.
Auch auf diese wird der Körper, auf dem die Schatten
grenzen zu suchen sind, zuweilen projiziert gedacht und
dann die Projektion in die Vertikal ebene umgeklappt. Auch
in dieser Umklappung bildet die Lichtstrahlprojektion mit
der ursprünglichen Vertikalprojektion des Lichtstrahls den
zuvor bestimmten Winkel a — 35 0 15,9'. Figur 65 b bietet
ein später näher zu erklärendes Beispiel.
VI. Schatten auf Cylinder- und Kegelflächen.
Cy linder flächen senkrechtzu einer Grundebene 89.
behandelt wie Prismen.
Schatten auf Cylinderflächen, wenn diese vertikal oder
senkrecht zur Vertikalebene oder parallel zum Grund
schnitt gerichtet sind, wurden schon bei den prismatischen
Flächen derselben Richtung mitbehandelt (Art. 22, 23 u. 25),
indem Gylinderflächen in diesen Lagen aufgefasst werden
können als Prismen mit sehr vielen Seitentlächen. Die
hieraus entspringenden Lösungen sind zugleich besondere
Formen der allgemeinen Lösung für Schatten aut ge
krümmten Flächen, beziehungsweise ihrer Umkehrungen
mit Vertauschung von Grundriss und Aufriss oder mit
Ersatz des Grundplans durch die Seitenprojektion.
Die Figuren 39 a und 39 b bringen das Prinzip der
Lösung für die zwei ersten Fälle perspektivisch zur An-
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