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Kapitel VII. Artikel 58, 59. 
Anwendung des Verfahrens mit den Berührungs- 
kugeln auf eine Drehungsfläche mit Achse senkrecht zur 
Vertikalebene vertieft in diese; Figur 57c. 
fg sei der Parallelkreis, auf welchem die Körper 
schattengrenzpunkte zu suchen sind, im Grundriss; der 
Kreis um y sei dessen Aufriss, fo im Grundriss ist nor 
mal zum Meridian; op ist senkrecht zur Lichtstrahl 
projektion bis zum Schnitt mit f g gezogen, o‘ r‘ hori 
zontal im Aufriss, p nach p‘ hinaufgelotet; Sehne m‘ n‘ 
durch p' senkrecht zur Lichtrichtung gezogen; m‘ und n‘ 
hinabgelotet nach m und n. mm‘ und nn‘ sind die Körper 
schattengrenzpunkte. Weil die Drehungsfläche in die Ver 
tikalebene vertieft, also hohl gedacht ist, so ist auch die 
Hohlkugel in Betracht zu ziehen, also gehört der Bogen 
m‘ f‘ n‘ der Schattenfläche an; andernfalls wäre von m‘ 
über f‘ bis n‘ Licht und der grössere Teil des Parallel 
kreises im Schatten. 
38. Körperschattengrenzen auf Wulst flächen, mit 
Hilfe von berührenden Kugeln. 
Zur Bestimmung der Körperschattengrenzen auf 
Wulstflächen lässt sich die Kugel noch in einfacherer 
Weise verwerten als nach Art. 57. Eine Wulstfläche ent 
steht durch Drehung eines Kreises oder Kreisbogens um 
eine in seiner Ebene liegende Achse; sie ist also nicht 
nur Umhüllungsfläche von Kugeln, deren Mittelpunkte 
auf der Drehungsachse liegen, sondern es liegt näher, 
sie als Umhüllungsfläche gleich grosser Kugeln aufzu 
fassen, deren Mittelpunkte auf dem Kreis liegen, den der 
Mittelpunkt des Meridiankreises der Wulstfläche bei der 
Drehung beschreibt. Jede umhüllende Kugel berührt die 
Wulstfläche nach einem solchen Meridiankreis. Wo die 
Körperschattenpunkte auf diesem liegen als auf einem 
Bestandteil der Kugel, da liegen sie auch als Bestand 
teile der Körperschattengrenze auf der Wulstfläche. Im 
folgenden (Fig. 58) ist die Anwendung dieses Gedankens 
auf den konvexen Wulst und auf die halbe hohle Wulst 
fläche mit Drehungsachse senkrecht zur Vertikalebene 
gezeigt. 
Man zeichnet als Aufriss eine Kugel mit dem Radius 
des Meridiankreises der Wulstfläche samt ihrem schatten- 
abgrenzenden Grosskreis, wobei die Ellipse, als welche 
dieser erscheint, nach Art. 66 erhalten werden kann. 
Dieses Kugelbild denkt man sich auf eine genügende 
Zahl von Radien zwischen die zwei Aufrisskreise der 
Wulstfläche gelegt, wie es Figur 58 anschaulich macht, 
und zwar so, dass der Mittelpunkt des Kugelbildes immer 
auf dem Radius liegt und die grosse Achse der Ellipse 
immer gleichgerichtet (unter 45 °) bleibt, wie es der Auf 
fassung des Kugelbildes als einer Vertikalprojektion ent 
spricht. Wo die Ellipse auf der Kugel den Radius schnei 
det, da ist ein Punkt der Körperschattengrenze der Wulst 
fläche. Beim hohlen Wulst ist nur die punktierte Hälfte 
der Ellipse in Betracht zu ziehen; bei der konvexen 
Wulstfläche mit vollem Kreisquerschnitt werden für jede 
Lage des Kugelbildes zwei Punkte erhalten. 
Zur praktischen Durchführung zeichnet man sich die 
Kugel nur einmal seitlich vom gegebenen Wulst (s. Figur) 
und zieht durch den Mittelpunkt des Kugelbildes parallele 
Durchmesser zu den Radien des Wulstaufrisses, worauf 
sich die Abstände der Schattenpunkte von den Wulst 
rändern auf jedem solchen Durchmesser abstechen lassen. 
Auch kann man das Kugelbild auf Pauspapier zeichnen 
und nacheinander mit unveränderter Richtung auf die 
Radien legen, wobei sich in jeder Lage der Schatten 
punkt auf den Radius durchstechen lässt. 
Die Anwendung auf andere Lagen der Drehachse, 
die einer Grundebene parallel sind, bedarf keiner Erklä 
rung. Doch ist zu beachten, dass die Lösung — um so 
einfach zu sein — diejenige Projektion der Wulstfläche 
erfordert, in welcher deren Drehachse sich als ein Punkt 
projiziert, weil sich in andern Projektionen die Berührungs 
kreise nicht als gerade Linien projizieren. Ist die Schatten 
grenze in einer andern Projektion verlangt, so ist sie in 
dieser erst durch Uebertragung der in jener ersten Pro 
jektion gefundenen Grenzlinie erhältlich. 
| Viertes Verfahren für Körper schattengrenzen 59. 
auf Drehungsflächen, mit Hilfe des Schlag 
schattens auf einer Ebene senkrecht zur 
Achse. 
Der Schlagschatten eines Drehungskörpers auf einer 
Ebene senkrecht zu seiner Achse würde auf dem ge 
wöhnlichen Weg dadurch erhalten, dass man zuerst die 
Körperschattengrenze auf dem Drehungskörper und dann 
deren Schlagschatten auf der Ebene in bekannter Weise 
aufsucht. Nun lässt sich aber dieser Schlagschatten meist 
rascher dadurch erhalten, dass man die Schatten einer 
genügenden Zahl von Parallelkreisen auf der Ebene zeich 
net. Diese Schatten werden wieder kreisförmig und wie 
in Art. ioe auf kurzem Weg gefunden; ihre Umhüllungs 
linie ist die Schlagschattengrenze. 
Die so erhaltene Grenzlinie ist zugleich der Schlag 
schatten der Körperschattengrenzlinie und kann mit Um 
kehrung des gewöhnlichen Wegs zu deren Bestimmung 
verwertet werden (Figur 59 a). Man bestimmt durch 
Schätzung möglichst genau einen Berührungspunkt m 
oder 71 zwischen einem Schattenkreis und der Umhüllungs- 
. & 
kurve; ein rückwärts durch den Punkt gezogener Licht 
strahl liefert als Schnitt mit dem Parallelkreis den zu 
gehörigen schatten werfenden Punkt a oder b, welcher 
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